هندسه متناهی

صفحه آفین متناهی از مرتبه ۲، شامل ۴ «نقطه» و ۶ «خط». خط‌های همرنگ را «موازی» نامند. مرکز شکل، «نقطه» ای از این صفحه آفینی نیست، لذا دو «خط» سبز همدیگر را «قطع» نمی‌کنند.

هندسه متناهی (به انگلیسی: Finite Geometry)، هرنوع دستگاه هندسی است که تنها دارای تعداد متناهی نقطه می‌باشد. هندسه اقلیدسی رایج، متناهی نیست، چون خط اقلیدسی دارای تعداد بی‌شماری نقطه می‌باشد. هندسه‌ای مربوط به گرافیک نمایش‌یافته روی صفحه کامپیوتر هندسه متناهی می‌باشد، که در آن پیکسل‌ها نقش نقاط را دارند. در حالی که هندسه‌های مختلفی در دسته هندسه‌های متناهی می‌گنجند، عمده توجه به دلیل نظم و سادگی بر روی فضاهای تصویری و آفین متناهی می‌باشد. انواع مهم دیگری از هندسه متناهی، صفحات موبیوس، معکوس، و بنز و همچنین معاد ابعاد بالاترشان چون هندسه‌های معکوس می‌باشد.

هندسه‌های متناهی را می‌توان از طریق جبر خطی و با شروع از فضاهای برداری روی میدان‌های متناهی ساخت؛ صفحات آفین و هندسی که بدین طریق ساخته می‌شوند را هندسه‌های گالوا می‌نامند. هندسه‌های متناهی را می‌توان به صورت محض اصول موضعی نیز ساخت. بسیاری از هندسه‌های متناهی رایج، هندسه‌های گالوا هستند، چرا که هر فضای هندسی متناهی از بعد سه یا بیشتر یک‌ریخت با فضای تصویری روی یک میدان متناهی است (یعنی تصویرسازی یک فضای برداری روی میدانی متناهی). با این‌حال، بعد دو دارای صفحات آفین و تصویری است که با هندسه‌های گالوایی یکریخت نبوده، به این صفحات، صفحات غیر-دزارگی می‌گویند. نتایج مشابهی برای سایر انواع هندسه‌های متناهی نیز برقرار است.

منابع

• Batten, Lynn Margaret (1997), Combinatorics of Finite Geometries, Cambridge University Press, ISBN 0-521-59014-0
• Beutelspacher, Albrecht; Rosenbaum, Ute (1998), Projective geometry: from foundations to applications, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3, MR 1629468
• Collino, Alberto; Conte, Alberto; Verra, Alessandro (2013). "On the life and scientific work of Gino Fano". arXiv:1311.7177.
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
• Eves, Howard (1963), A Survey of Geometry: Volume One, Boston: Allyn and Bacon Inc.
• Hall, Marshall (1943), "Projective planes", Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 54 (2): 229–277, doi:10.2307/1990331, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990331, MR 0008892
• Lam, C. W. H. (1991), "The Search for a Finite Projective Plane of Order 10", American Mathematical Monthly, 98 (4): 305–318, doi:10.2307/2323798
• Malkevitch, Joe. "Finite Geometries?". Retrieved Dec 2, 2013.
• Meserve, Bruce E. (1983), Fundamental Concepts of Geometry, New York: Dover Publications
• Polster, Burkard (1999). "Yea why try her raw wet hat: A tour of the smallest projective space". The Mathematical Intelligencer. 21 (2): 38–43. doi:10.1007/BF03024845.
• Segre, Beniamino (1960), On Galois Geometries (PDF), New York: Cambridge university Press, pp. 488–499, archived from the original (PDF) on 2015-03-30, retrieved 2015-07-02
• Shult, Ernest E. (2011), Points and Lines, Universitext, Springer, doi:10.1007/978-3-642-15627-4, ISBN 978-3-642-15626-7
• Ball, Simeon (2015), Finite Geometry and Combinatorial Applications, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-51843-8.

پیوند به بیرون

• Weisstein, Eric W. "finite geometry". MathWorld.
• Incidence Geometry by Eric Moorhouse
• Algebraic Combinatorial Geometry by Terence Tao
• Essay on Finite Geometry by Michael Greenberg
• Finite geometry (Script)
• Finite Geometry Resources
• J. W. P. Hirschfeld, researcher on finite geometries
  • Books by Hirschfeld on finite geometry
• AMS Column: Finite Geometries?
• Galois Geometry and Generalized Polygons, intensive course in 1998
• Carnahan, Scott (2007-10-27), "Small finite sets", Secret Blogging Seminar, notes on a talk by Jean-Pierre Serre on canonical geometric properties of small finite sets.
• “Problem 31: Kirkman's schoolgirl problem” توسط Wayback Machine (بایگانی‌شده اوت ۱۷, ۲۰۱۰)
• Projective Plane of Order 12 on MathOverflow.