مجموعه تهی

تصویری از پنج جهان اول فون نویمان، تا V_4 V_0.

مجموعهٔ تهی (به انگلیسی: Empty set) مجموعه‌ایست، که هیچ عضوی ندارد و معمولاً با علامت‌های ${\displaystyle \varnothing }$ یا ${\displaystyle \lbrace \rbrace }$ نشان داده می‌شود.^[۱][۲]

به‌صورت دقیق‌تر می‌توان نوشت:

البته باید در نظر گرفت طراح سوالات از مجموعه تهی چه برداشتی دارند

${\displaystyle M=\varnothing \Leftrightarrow \forall x:x\not \in M}$

خواص

• به ازای هر مجموعهٔ ${\displaystyle A}$، تهی زیرمجموعه‌ای از ${\displaystyle A}$ است:

∀A: ∅ ⊆ A

• به ازای هر مجموعهٔ ${\displaystyle A}$، اجتماع تهی و ${\displaystyle A}$ برابر ${\displaystyle A}$ است:

∀A: A ∪ ∅ = A

• به ازای هر مجموعهٔ ${\displaystyle A}$، اشتراک تهی و ${\displaystyle A}$ برابر تهی است:

∀A: A ∩ ∅ = ∅

• به ازای هر مجموعهٔ ${\displaystyle A}$، حاصل‌ضرب دکارتی تهی و ${\displaystyle A}$ برابر تهی است:

∀A: A × ∅ = ∅

• تنها زیرمجموعهٔ مجموعهٔ تهی، خودش است:

∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅

• تعداد اعضای مجموعهٔ تهی صفر است و به عبارتی متناهی است:

|∅| = 0

• مجموعه توانی مجموعهٔ تهی، مجموعه‌ای است که فقط شامل تهی می‌باشد:

${\displaystyle 2^{\phi }=\{\phi \}}$

مجموعۀ ناتهی

مجموعهٔ ناتهی (به انگلیسی: Nonempty set) مجموعه‌ای است که دست‌کم یک عضو داشته باشد. به عنوان مثال «مجموعهٔ انسان‌های با قد بالای ۲۸۰ سانتی‌متر» یک مجموعهٔ تهی و «مجموعهٔ انسان‌های با وزن کمتر از ۱۰۰ کیلوگرم» یک مجموعهٔ ناتهی است.

منابع

1. «مجموعه تهی چیست؟». آی هوش. بایگانی‌شده از اصلی در ۲ نوامبر ۲۰۱۶. دریافت‌شده در ۲ مارس ۲۰۱۷.
2. «: اصل موضوع مجموعه تهی». بایگانی‌شده از اصلی در ۳ مارس ۲۰۱۷. دریافت‌شده در ۲۰۱۷-۰۳-۰۲.