ضرب دکارتی

نمودار ضرب دکارتی یا حاصلضرب دکارتی

ضرب دکارتی یا حاصلضرب دکارتی (به انگلیسی: Cartesian product) در مجموعه، عملگری در ریاضیات است که برای ایجاد زوج مرتب از اعضای دو مجموعه عمل‌وند آن بکار می‌رود. با استفاده از این عمل همه ترکیبات ممکن دوتایی از اعضای دو مجموعه ایجاد خواهد شد. در زوج‌های مرتّب تولید شده عضو نخست از اولین مجموعه و عضو دو از دومین مجموعه انتخاب می‌شود.

تعریف

حاصلضرب دکارتی مجموعه‌های ${\displaystyle X}$ و ${\displaystyle Y}$ به صورت ${\displaystyle X\times Y\!}$ نوشته شده و تعریف زیر را دارا است:

${\displaystyle X\times Y=\{(x,y)|x\in X\;\mathrm {\land } \;y\in Y\}\!}$

عدد اصلی

عدد اصلی در یک مجموعه برابر با شمارگان اعضای آن مجموعه است. به عنوان مثال دو مجموعه ی A و B را در نظر بگیرید.

مجموعه A شامل a و b

مجموعه B شامل 5 و 6

هر یک از این مجموعه‌ها شامل دو عنصر هستند و ضرب دکارتی آن‌ها به شکل زیر است:

(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)

هر کدام از عناصر در مجموعه ی حاصل دارای دو عضو هستند که برابر با عدد اصلی در مجموعه‌های مادر است (در این مثال 2). عدد اصلی در مجموعه ی نهایی نیز برابر با حاصلضرب اعداد اصلی مجموعه‌های مادر است ( در این مثال 4 = 2 × 2)

حاصلضرب کارتزین

بیشتر اوقات ترتیب عناصر در یک درایه مهم است. چون مجموعهها بدون ترتیب هستند، یک ساختار متفاوت برای نمایش درایه‌های مرتب لازم است.

این امر به وسیلهٔ n_تایی‌های مرتب حاصل می‌شود.

n_تایی مرتب ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}$ یک گردایه مرتب است اگر a1 عنصر اول، a2 عنصر دوم، ... و an عنصر n ام ان است.

به عبارت دیگر ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{n})=(b_{1},b_{2},...,b_{n})}$

حاصلضرب کارتزین دو مجموعه A و B، مجموعه تمام زوج مرتب ${\displaystyle (a,b)}$ که به صورت زیر نشان داده می‌شود:

A×B={(a,b) | 'a' be a member of 'A' , 'b' be a member of 'B'}

منابع

• ریچارد جانسون با (۱۳۸۰)، ساختمان‌های گسسته، ترجمهٔ حسین ابراهیم‌زاده قلزم (ویراست پنجم)، سیمای دانش

• Sudkamp, T. A., An Introduction to the Theory of Computer Science, Languages and Machines, 3rd ed., Pearson Education, Inc., 2006. ISBN 0-321-32221-5 [۱]
• Johnsonbaugh, R., Discrete Mathematics, 4th ed., Prentice Hall, 1993. ISBN 0-13-518242-5
• Kenneth H, Rosen (1998). "Relations". Discrete Mathematics and its Applications. SIGS Reference Library (به انگلیسی). William C Brown Pub; 4th edition. Retrieved 2007. {{cite book}}: Check date values in: |بازبینی= (help)

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقی‌مانده اقلیدسی ∧ بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ∨ کوچک‌ترین مضرب مشترک ترکیباتی () ضریب دوجمله‌ای P جایگشت C ترکیب	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ متمم نسبی ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل‌ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	بُرداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل‌ضرب اشتراک	ترتیبی
		+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر