خاصیت جابه‌جایی

خاصیت جابه‌جایی

گرایش	جبر
گزاره	یک خاصیت برای یک عمل دوتایی است، که تغییر ترتیب عملوندها بر روی نتیجه تأثیر نداشته باشد.
بیان نمادین	${\displaystyle x*y=y*x\quad \forall x,y\in S.}$

خاصیت جابه‌جایی (به انگلیسی: Commutative) در علم ریاضیات، یک خاصیت برای یک عمل دوتایی است، که تغییر ترتیب عملوندها بر روی نتیجه تأثیر نداشته باشد. خاصیت جابجایی، خاصیتی بنیادین برای بسیاری از عمل‌های دوتایی می باشد و بسیاری از اثبات های ریاضیاتی به آن بستگی دارد. این همان خاصیت آشنای "۳+۴=۴+۳" یا "۲×۵=۵×۲" است. ازین خاصیت می توان در حالات پیشرفته تر نیز استفاده کرد. برخی از عمل‌های دوتایی چون تقسیم و تفاضل خاصیت جابجایی ندارند (مثلاً "۳-۵≠۵-۳")؛ چنین عمل‌هایی جابجایی نیستند، لذا به آن ها عمل‌های ناجابجایی می گویند. این ایده که عملیات ساده ای چون ضرب و جمع اعداد جابجایی هستند، سال ها به صورت ضمنی و پنهان فرض می شد. لذا، این خاصیت تا قرن ۱۹ میلادی به صورت آشکار مطرح نشد، در این زمان بود که ریاضیات شروع به صوری سازی این مفهوم کرد.^[۱][۲] برای روابط دوتایی هم خاصیتی مشابه به نام خاصیت تقارنی وجود دارد، روابطی که این خاصیت را دارند، ترتیب عملوندها برایشان اهمیتی ندارد. مثالی از روابط دوتایی متقارن، رابطه تساوی است که معمولاً آن را با = نشان می دهند. علت متقارن بودن این رابطه این است که در برابری دو شیء، ترتیب قرارگیریشان در دو سمت نماد تساوی اهمیتی ندارد.^[۳]

تعریف‌های ریاضی

عبارت «جابه‌جایی‌پذیر» در چند مورد مشابه کاربرد دارد.^[۴][۵]

۱. یک عمل دوتایی تحت عمل‌گر ∗ در مجموعهٔ S جابه‌جایی‌پذیر است اگر:

${\displaystyle \forall x,y\in S:x*y=y*x\,}$

- موردی که در ویژگی بالا صدق نکند، ناجابه‌جایی گفته می‌شود.

۲. کاربرد دیگر می‌گوید که x جابه‌جا می‌شود با y تحت ∗ اگر:

${\displaystyle x*y=y*x\,}$

۳. یک تابع دو متغیره مانند f:A×A → B دارای خاصیت جابه‌جایی است، اگر:

${\displaystyle \forall x,y\in A:f(x,y)=f(y,x)\,}$

مثال

جمع زدن سیب‌ها، که می‌توان آن را به عنوان جمع اعداد طبیعی دید، رابطه (جابجایی پذیر) است.

عملیات‌های جابجایی پذیر

• جمع و ضرب در اکثر سیستم اعداد، به ویژه بین اعداد طبیعی، اعداد صحیح، اعداد گویا، اعداد حقیقی و اعداد مختلط، رابطه جابجایی برقرار است. این ویژگی همچنین در هر میدانی صدق می‌کند.
• عمل جمع برداری در هر جبری جابجایی پذیر است.
• اتحاد و اشتراک عملیات‌های جابجایی پذیر روی مجموعه‌ها هستند.
• عملیات‌های منطقی "و" و "یا" نیز ارتباطی جابجایی پذیر هستند.

جستارهای وابسته

• شرکت‌پذیری
• توزیع‌پذیری

پانویس

1. Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
2. Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin, eds. (2011). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. p. 4. ISBN 9780191627941.
3. D. F. Gregory (1840). "On the real nature of symbolical algebra". Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 14: 208–216.
4. Krowne, p.1
5. Weisstein, Commute, p.1

منابع

کتاب‌ها

• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2.

نظریه جبر مجرد. جابجایی را در این بستر پوشش می دهد. از این خاصیت در سراسر کتاب استفاده می کند.

• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic. Prentice Hall.
• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra, 6e. Boston, Mass.: Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.

نظریه جبر خطی. خاصیت جابجایی را در فصل 1 توضیح می دهد و سپس در سرتاسر کتاب مورد استفاده قرار می دهد.

• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.

نظریه جبر مجرد. از خاصیت جابجایی در سرتاسر کتاب استفاده می کند.

• Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic 4th edition. Wadsworth Publishing.

مقالات

• https://web.archive.org/web/20070713072942/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

مقاله ای در توصیف توانایی تمدن های باستانی در ریاضیات.

• Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. شابک ‎۰−۷۱۴۱−۰۹۴۴−۴

ترجمه و تفسیر پاپیروس ریاضیاتی ریند.

منابع برخط

• "Commutativity", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Krowne, Aaron, Commutative در PlanetMath., Accessed 8 August 2007.

تعریف خاصیت جابجایی و مثال هایی از عملگرهای جابجایی

• Weisstein, Eric W. "Commute". MathWorld., Accessed 8 August 2007.

توضیح عبارت جابجایی

• Yark. Examples of non-commutative operations در PlanetMath., Accessed 8 August 2007

مثالهایی که برخی خواص ناجابجایی را اثبات می کنند

• O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor history of real numbers, Accessed 8 August 2007

مقاله ای در مورد تاریخ اعداد حقیقی

• Cabillón, Julio and Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms, Accessed 22 November 2008

صفحه ای که اولین استفاده از عبارات ریاضی را شرح می دهد

• O'Conner, J J and Robertson, E F. MacTutor biography of François Servois بایگانی‌شده در ۲ سپتامبر ۲۰۰۹ توسط Wayback Machine, Accessed 8 August 2007

زندگی نامه فرنچویس که اولین بار این عبارت را به کار برد.