Bi lerro zuzenen arteko distantzia

Artikulu honek planoko bi lerro zuzen hartzen ditu kontuan. Planoan ez dauden bi zuzenetarako, ikus Gurutzatzen diren zuzenak.

Planoko bi lerro zuzenen arteko distantzia zuzenetan dauden bi punturen arteko gutxieneko distantzia da. Zuzen ebakitzaileen kasuan, haien arteko distantzia zero da, haien arteko gutxieneko distantzia zero delako (elkargunean dagoen puntuan); Bi zuzen paraleloen kasuan, zuzen bateko puntu batetik beste zuzenerako perpendikularra den distantzia da.

Formula eta frogapena

Zuzenak paraleloak direnez gero, haien arteko distantzia perpendikularra konstante bat da, beraz, ez du axola zer puntua hautatzen den distantzia neurtzeko. Bi lerro zuzen paralelo ez bertikalen ekuazioak kontuan hartuta

${\displaystyle y=mx+b_{1}\,}$

${\displaystyle y=mx+b_{2}\,,}$

Bi zuzenen arteko distantzia zuzen horietako elkarzut batekiko bi ebakipuntuen arteko distantzia da.

${\displaystyle y=-x/m\,,}$

Distantzia hori sistema linealen bidez lehenbailehen aurki daiteke

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{cases}}}$

eta

${\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,,\end{cases}}}$

ebakipuntuen koordenatuak lortzeko. Puntuak dira sistema linealetako ebazpenak 

${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,,}$

eta

${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right)\,.}$

Puntuen arteko distantzia hau da

${\displaystyle d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,}$

hori honela laburbiltzen da

${\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.}$

Zuzenak hauek direnean

${\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}$

${\displaystyle ax+by+c_{2}=0,\,}$

haien arteko distantzia honela adieraz daiteke

${\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}$

Ikus, gainera

• Distantzia puntu batetik zuzen batera
• Gurutzatzen diren zuzenak

Kanpo estekak

• Datuak: Q17007861