Ta alustas klubikarjääri 2009. aastal Serbia klubis BSK Borča. Seejärel mängis ta hooajal 2010–2011 Serbia suurklubis FK Partizan ning ta valiti sel hooajal liiga sümboolsesse koosseisu.
2011. aasta juulis siirdus ta 6 miljoni naelsterlingi eest Inglismaa Premier League'i klubisse Manchester City. Tema ainsaks väravaks Inglismaa kõrgliigas jäi 1. oktoobril 2011 löödud värav Blackburn Roversi vastu. Samal hooajal tuli ta klubiga Inglismaa meistriks.
Aastatel 2012–2015 mängis ta kolm hooaega Itaalia kõrgliiga klubis ACF Fiorentina.
2015. aasta juulis liitus ta 10 miljoni euro eest Madridi Atléticoga, kellega sõlmis viieaastase lepingu.
Debüüdi Montenegro rahvuskoondises tegi Savić 11. augustil 2010 sõprusmängusPõhja-Iirimaa vastu. Koondisekarjääri kaks esimest väravat lõi ta järgmise aasta 10. augustil sõprusmängus Albaania vastu.
Aastatel 2016, 2017 ja 2018 on Savić valitud Montenegro aasta jalgpalluriks.
