Svešnikov täitis meistrinormi 1967. aastal. Suurmeistriks sai ta 27-aastaselt 1977. aastal. Kaks aastat varem oli ta FIDE-lt saanud rahvusvahelise meistri nimetuse.
Pärast Nõukogude Liidu lagunemist asus Svešnikov elama Lätti. Omas Venemaakodakondsust. Aastatel 2002–2015 esindas malevõistlustel Lätit, alates 2015. aastast Venemaad. Ta on kolmel korral tulnud Läti malemeistriks (2003, 2008, 2010). Läti võistkonna koosseisus on ta mänginud kolmel maleolümpial (2004–2008).
Evgeny Sveshnikov, Vladimir Sveshnikov. "A Chess Opening Repertoire for Blitz & Rapid: Sharp, Surprising and Forcing Lines for Black and White". 2016. ISBN 9056916033