Maletajana tuli ta kahel korral Briti maletšempioniks (1938, 1956). Ta mängis kahel MM-i tsooniturniiril (1947, 1956). Mõlemal korral tuli ta esikuuikusse, kuid tsoonidevahelisele turniirile ei kvalifitseerunud. Kahel korral võitis Alexander Hastingsi turniiri (aastavahetusel 1946/1947 ainuisikuliselt ja 1953/1954 koos David Bronšteiniga).
Alexander esindas Inglismaad kuuel maleolümpial (1933, 1935, 1937, 1939, 1954, 1958). Maleolümpiatel 1964–1970 oli ta Inglismaa võistkonna kapten (treener).
Kui Rahvusvaheline Maleföderatsioon (FIDE) 1950. aastal võttis kasutusele rahvusvahelise meistri nimetuse, oli Alexander üks neist, kes sai selle nimetuse kohe samal aastal.