Teooria matemaatiliseks väljenduseks võttis Einstein abiks kõvera aegruumi mõiste. Kõveras aegruumis ei ole lühimaks teeks kahe punkti vahel mitte sirge nagu tasases (eukleidilises) ruumis, vaid kõver geodeetiline joon. Mass kõverdab ruumi ja valguskiir järgib seda kõverust. Vabalt langevad objektid liiguvad mööda kõvera ruumi geodeetilisi jooni. Et eukleidiline geomeetria ei sobi kõvera aegruumi kirjeldamiseks, võttis Einstein abiks erilise kõverate ruumide geomeetria, mille lõi Bernhard Riemann.
Üldrelatiivsusteooria laiendab erirelatiivsusteooriat ning läheb piirjuhtumil (lähendus lõpmata väikestes piirkondades) selleks üle. Samuti võib teda vaadelda Newtoni gravitatsiooniseaduse laiendusena, sest ta läheb piirjuhtudel (lähendus väikeste massitiheduste ja väikeste kiiruste korral) selleks üle.
Üldrelatiivsusteooria postuleerib aine (energia ja impulsiga objektide) ning aegruumi vahelist vastastikust toimet.
1. Aine energia ja impulss mõjutavad selle aegruumi geomeetriat, milles aine asub. Seda mõju saab väljendada kõveruse mõiste abil (aegruumi kõverus).
2. Aine, millele ei mõju mingi jõud, liigub mööda geodeetilist joont nagu klassikalises mehaanikaski, ainult et see geodeetiline joon ei ole üldjuhul sirge, nagu ta on kõveruseta ruumis. Aine mõju sellele liikumisele, mida klassikaline mehaanika seletab gravitatsioonijõuga, seletab üldrelatiivsusteooria aegruumi geomeetriaga. Nagu erirelatiivsusteooriaski, tõlgendatakse objekti liikumist kindlal trajektooril ruumis joonena neljamõõtmelises aegruumis. Seda joont nimetatakse objekti maailmajooneks.
Esimene väide kirjeldab aine toimet aegruumile, teine väide kirjeldab aegruumi mõju aine liikumisele. Aine kohalolu muudab aegruumi geomeetrilisi omadusi, millest tulenevad aine liikumisvõrrandid. Üldrelatiivsusteooria vaatleb ruumi- ja ajakoordinaate võrdõiguslikena ja käsitleb kõiki ajalisi muutusi aegruumi geomeetriliste seikadena.
Nendest eeldustest ei saa üldrelatiivsusteooriat rangelt järeldada, ja vähemalt Machi printsiibi puhul pole kindel, kas üldrelatiivsusteooria seda üldse rahuldab. Need kolm printsiipi aga selgitavad, millised füüsika probleemid ajendasid Einsteini formuleerima uue gravitatsiooniteooriana üldrelatiivsusteooria.
Aegruumi kõverus tuleneb ekvivalentsusprintsiibist, sellepärast tuleb siin juttu ka sellest.
Üldrelatiivsusteoorias võetakse aluseks relatiivsusprintsiip kujul, mis laiendab erirelatiivsusteoorias kasutatavat relatiivsusprintsiipi: füüsikaseadustel ei ole sama kuju mitte ainult kõigis inertsiaalsüsteemides, vaid ka kõigi koordinaadistike suhtes. See kehtib kõigi koordinaadistike kohta, mis omistavad igale sündmusele ruumis ja ajas neli parameetrit, kusjuures need parameetrid on aegruumi väikestes piirkondades, mis alluvad erirelatiivsusteooriale, seal lokaalselt defineeritavate Cartesiuse koordinaatide piisav arv kordi diferentseeritavad funktsioonid. See nõue koordinaadistikule on vajalik, et kõverale aegruumile saaks üldse rakendada diferentsiaalgeomeetria meetodeid. Kõver aegruum ei ole seejuures üldiselt enam globaalselt kirjeldatav Descartesi koordinaadistikuga. Laiendatud relatiivsusprintsiipi nimetatakse ka üldiseks koordinaatide kovariantsuseks.
Koordinaatide kovariantsus on nõue üldrelatiivsusteoorias kehtida saavate võrrandite (väljavõrrandite, liikumisvõrrandite) formuleeringule. Ent ka juba erirelatiivsusteooriat saab formuleerida üldiselt kovariantsena. Nii näiteks saab isegi pöörleval pöördtoolil paiknev vaatleja olla seisukohal, et ta ise seisab paigal ja kosmos pöörleb ümber tema. Seejuures tekib paradoks, et tähed ja neilt kiirguv valgus liiguvad pöörleva vaatleja koordinaadistikus arvutuslilkult valguse kiirusest kiiremini, mis näib olevat erirelatiivsusteooriaga vastuolus. Selle paradoksi lahendus on, et üldiselt kovariantne kirjeldus on definitsiooni kohaselt lokaalne. See tähendab, et valguse kiiruse konstantsus peab kehtima ainult vaatleja maailmajoone läheduses, mis on pöörleja vaatleja puhul sama hästi täidetud kui mis tahes muu vaatleja puhul. Kovariantselt, st üldise relatiivsusprintsiibi mõttes, kirjutatud võrrandid annavad tähtede jaoks niisiis valguse kiirust ületavad liikumisvõrrandid, on aga sellegipoolest erirelatiivsusteooria printsiipidega kooskõlas. See selgub ka sellest, et on võimatu, et vaatleja tähe läheduses pöörlevas koordinaadistikus paigal seisaks ning seega kohtuks tähega valguse kiirusest kiiremini. Sellel vaatlejal on niisiis teine koordinaadistik kui pöörleval vaatlejal ning tal pole "õiget" valguse kiirust.
Kuigi kosmost pöörleva vaatleja pilgu läbi on võimalik korrektselt kirjeldada, on sellise taustsüsteemi võrrandid, milles enamik objekte seisab paigal või pöörleb aeglaselt, enamasti lihtsamad. Mittepöörleva koordinaadistiku tingimus inertsiaalsüsteemidele ja eristus nende vaatluses, mida klassikaline füüsika nõuab, langeb aga põhimõtteliselt ära.
Mitme keha süsteemi puhul kitsas ruumis on aegruum väga kõver ja kõverus igas koordinaadistikus ka muutub ajas. Sellepärast ei saa ette leida parimat koordinaadistikku, mis sobiks kõigi nähtuste kirjeldamiseks. Relatiivsusprintsiip ütleb selle üldise juhtumi kohta, et polegi tarvis seda otsida, sest kõik koordinaadistikud on võrdõiguslikud. Nii võib vastavalt sellele, millist nähtust tahetakse kirjeldada, valida erinevaid koordinaadistikke ning valida välja arvutuslikult kõige lihtsam mudel.
Einstein oli relatiivsusteooria väljatöötamisel tugevasti mõjutatud Ernst Machist. Einsteinile oli tähtsaks lähtepunktiks Machi eeldus, et kehale mõjuvad inertsijõud ei sõltu mitte keha liikumisest absoluutse ruumi suhtes, vaid keha liikumisest teiste masside suhtes Universumis. Seda nimetas Einstein Machi printsiibiks. Universum on selles käsituses seega masside vastastikuse toime tagajärg ning sõltumatult nendest massidest eksisteerivat ruumi ei ole olemas. Pöörlevatele kehadele ei mõjuks ka tsentrifugaaljõude, kui ülejäänud Universum kaasa pöörleks.
See Einsteini üsna üldine formuleering on siiski vaid üks paljudest omavahel mitteekvivalentsetest Machi printsiibi formuleeringutest. Sellepärast on Machi printsiip ja tema vahekord üldrelatiivsusteooriaga tänaseni vaieldavad. Näiteks leidis Kurt Gödel 1949 üldrelatiivsusteooria seaduste järgi võimaliku Universumi mudeli, nn Gödeli Universumi, mis on vastulolus Machi printsiibi mõne formuleeringuga. Igatahes näitavad astronoomilised vaatlused, et tegelik Universum on Gödeli mudelist väga erinev.
Einstein pidas Lense-Thirringi efekti, mida üldrelatiivsusteooria ennustas, Machi printsiibi oma versiooni kinnituseks. Sellest efektist tuleneb, et pöörleva massiga õõneskera sisestel süsteemidel tekib pretsessioon, mida tõlgendas nii, et kera mass mõjutab inertsijõude. Et aga arvutuse juures eeldati "paigalseisvat" taustsüsteemi tähistaeva kujul, on ka see tõlgendus vaieldav.
Seega on Machi printsiibi üldtunnustatud versioon, mille sõnastas Einstein, liiga ebatäpne, et saaks otsustada, kas ta on üldrelatiivsusteooriaga ühitatav.
Juba klassikalises mehaanikas oli tuntud inertse massi ja raske massi ekvivalentsuse printsiip. Klassikalisel kujul, mida nimetatakse ka nõrgaks ekvivalentsusprintsiibiks, ütleb see, et raske mass, millest oleneb, kui suur on gravitatsioonivälja tekitatud jõud, mis kehale mõjub, ja inertne mass, millest oleneb, kui suure kiirenduse jõud kehale annab, on ekvivalentsed. Sellest tuleneb muu hulgas, et gravitatsiooniväljas (teiste jõudude puudumisel) liiguvad kõik kehad ühtemoodi, sõltumatult massist. (Sünkrotronkiirguse tõttu ei kehti see elektrilaenguga kehade puhul.) Nii näiteks kukuvad vaakumis kõik (elektriliselt neutraalsed) kehad ühesuguse kiirusega, ja geostatsionaarne orbiit on ühesugune nii rasketel kui ka kergetel tehiskaaslastel. Klassikalisest ekvivaentsusprintsiibist tuleneb, et kinnises laboris asuv vaatleja ei saa ilma väljastpoolt tuleva infota, laboris asuvate esemete mehaanilise käitumise järgi, otsustada selle üle, kas ta on kaaluta olekus või vabas langemises.
Einstein üldistas seda printsiipi. Einsteini tugev ekvivalentsusprintsiip ütleb, et kinnises laboris asuv vaatleja ei saa ilma vastastikuse toimeta ümbrusega üldse mitte mingi katse põhjal otsustada, kas ta on kaaluta olekus kaugel teistest massidest või vabas langemises mingi massi lähedal. See tähendab muu hulgas, et vabas langemises oleva vaatleja jaoks ei ole ka valguskiirparaboolselt kõver nagu kiirendusega taustsüsteemis. Teiselt poolt peab gravitatsiooniväljas paigal seisev (näiteks maapinnal seisev) vaatleja tajuma valguskiirt kõverana, sest tal on kogu aeg vaba langemise suhtes kiirendus ülespoole.
Siiski tuleb tähele panna, et see printsiip kehtib ainult lokaalselt:
Nii tõmmatakse "all" (raskuskeskmele lähemal asuvat objkti tugevamini külge kui kaugemal "üleval" asuvat. Kui vaba langemise ruum on vertikaalselt piisavalt pikk, siis saab vaatleja nentida, et objektid, mis asuvad kaugemal üleval, kaugenevad nendest, mis asuvad kaugemal all.
Kui ruum on horisontaalselt piisavalt lai, siis erineb märgatavalt külgetõmbejõu suund kahe üksteisest horisontaalselt kaugel asetseva objekti puhul märgatavalt, sest mõlema kiirendus on suunatud raskuskeskmele. Sellepärast saab vabalt langev vaatleja nentida, et teineteisest kaugel asetsevad kehad lähenevad teineteisele. Niisiis mõjub ulatusega kehale jõud, mis teda ühes sunas välja venitab ja sellega risti olevas suunas kokku surub.
Üldrelatiivsusteoorias järeldub ekvivalentsusprintsiip otseselt kehade liikumise kirjeldusest: et kõik kehad liiguvad mööda aegruumigeodeetilisi jooni, siis saab mööda geodeetilist joont liikuv vaatleja aegruumi kõverust kindlaks teha (ja tõlgendada seda gravitatsiooniväljana) ainult juhul, kui tema vaadeldav aegruumi piirkond on oluliselt kõver. Sel juhul vaatleb ta ülalnimetatud loodetejõude vabalt langevate kehade suhtelise lähenemise või kaugenemisena. Kõveruse tõttu on veel ka elektrilaenguga kehad mittelokaalses vastastikuses toimes omaenda väljaga ning seetõttu ei ole ekvivalentsusprintsiip neile põhimõtteliselt rakendatav, sest nende elektromagnetväli on põhimõtteliselt liiga kauge mõjuga.[2]
Kõver aegruum
Aegruumi kõverus, mida siin selgitatakse, ei ole iseseisev kontseptsioon, vaid ekvivalentsusprintsiibi järeldus. Ekvivalentsusprintsiibi abiga saab ka kõvera aegruumi mõistet näitlikult selgitada. Selleks tuleb kõigepealt selgitada, mis on paralleellüke mööda ajatelge. Rööplüke mingis suunas on lüke, mille puhul võetakse lokaalne koordinaadistik kaasa. Lüke ruumisuunas on massideta aegruumis näitlikult arusaadav. Aja definitsioon on erirelatiivsusteooria järgi koordinaadistikust sõltuv. Konstantne ajasuund on seejuures antud ainult kiirenduseta koordinaadistike puhul. Sel juhul tähendab lüke ajasuunas massideta aegruumis, et ese on koordinaadistiku suhtes paigal. Ta liigub siis piki selle koordinaadistiku ajatelge.
Ekvivalentsusprintsiibi järgi saab sellega mõista rööplüket piki ajatelge gravitatsiooniväljas. Ekvivalentsusprintsiip ütleb, et vabalt langev vaatleja gravitatsiooniväljas on ekvivalentne kiirendusega liikuva vaatlejaga gravitatsiooniväljast kaugel. Sellepärast vastab rööplüke piku ajatelge ajavahemiku t võrra vabale langemisele kestusega t. See tähendab, et paralleellükkega ajas kaasub ka liikumine ruumis. Et aga langemise suund sõltub kohast, on vahe sees, kas vaatleja paralleellükkub enne ruumis ja siis ajas või ümberpöördult. Öeldakse, et paralleellüke ei ole kommutatiivne, st lükete järjekord ei ole oluline.
Seni olid vaatluse all suured lükked, mille puhul paralleellükete järjekord on oluline. Siiski on mõttekas, kui saab midagi öelda ka kui tahes väikeste aegruumi piirkondade kohta, et kehade käitumist saaks kirjeldada ka lühikeste ajavahemike ja vahemaade korral. Kui tehakse paralleellükkeid üle üha lühemate vahemaad ja ajavahemike, siis on lõpp-punktid eri järjestuste korral küll endiselt erinevad, kuid vahe vastavalt väheneb. Tuletiste abil saab kirjeldada lõpmata väikest paralleellüket mingis punktis. Lõpp-punktide kõrvalekalde kahe paralleellükke järjekorra muutmisel annab siis kõverustensor.
Aegruumi kõverusega saab seletada ka mainitud loodete jõudusid. Kaks vabalt langevat kera vabalt langevas laboris liiguvad mõlemad piki ajatelge, niisiis mõõda omavahel paralleelseid jooni. Tõsiasi, et paralleellükked ei ole kommutatiivsed, on samaväärne sellega, et paralleelsete joonte vaheline kaugus ei ole konstantne. Seega võivad kerade trajektoorid teineteisele läheneda või teineteisest kaugeneda. Maa raskusväljas on väga pikagi langemise korral väga väike. Kui aega käsitletakse ruumimõõtmena, korrutatakse ajavahemikud valguse kiirusega. Aegruumi kõverus on niisiis väga väike ning üldse tuntav ainult kaua kestva langemise korral. See on võrreldav pesulinaga, mis kõrvalt vaadatuna tundub sirgena, aga piki lina vaatamisel osutub kõveraks.
Kõveruse kirjeldamiseks ei ole niisiis tarvis paigutada aegruumi kõrgema dimensiooniga ruumi sisse. Kõverust ei tule mõista mitte kõverdumisena viiendasse mõõtmesse ega ruumi kõverdumisena neljandasse mõõtmesse, vaid paralleellükete mittekommutatiivsusena. Peale selle on niisuguse esituse puhul vajalik käsitada ruumi ja aega neljamõõtmelise aegruumina, sest kolmemõõtmeline ruum üksi ei pruugi kõver olla.
Aegruumi ja selle kõveruse matemaatiliseks kirjeldamiseks kasutatakse diferentsiaalgeomeetria meetodeid, mis asendavad klassikalist mehaanikat, mis kasutab meile tuttava "lameda" kolmemõõtmelise ruumi eukleidilist geomeetriat. Diferentsiaalgeomeetria kasutab üldrelatiivsusteooria aegruumi taoliste kõverate ruumide kirjeldamiseks muutkonna mõistet. Tähtsate omaduste kirjeldamiseks kasutatakse tensoreid, mis esitavad kujutusi muutkondadel.
Eriline tähtsus on meetrilisel tensoril. Meetriline tensor seab kahele vektorväljale aegruumi iga punkti jaoks vastavusse ühe reaalarvu. Selles suhtes võib meetrilist tensorit vaadelda skalaarkorrutise punktisõltelise üldistusena. Selle abil defineeritakse kaugus ja nurk ning seetõttu nimetatakse teda lühidalt meetrikaks.
Sama oluline on Riemanni kõverustensor (meetrilise tensori esimese ja teise tuletise kombinatsioon) muutkonna kõveruse kirjeldamiseks. Kui tensor mingis koordinaadistikus mingis punktis ei võrdu nulliga, siis ei leidu koordinaadistikku, milles ta oleks selles koordinaadistikus võrdne nulliga. See kehtib ka kõverustensori kohta. Ümberpöördult on kõverustensor kõigis koordinaadistikes null, kui ta on ühes koordinaadistikus null. Seega saab sõltumatult koordinaadistikust otsustada, kas muutkond on mingis kindlas punktis kõver või mitte.
Albert Einstein pidas ekvivalentsusprintsiipi, mida 1900 oli Eötvösi katse kinnitanud juba täpsusega 10−9, gravitatsiooni võtmeomaduseks. Sellepärast laiendas ta seda printsiipi mittemehaanilistele nähtustele ning võttis selle oma gravitatsiooniteooria lähtekohaks.
Esimene publikatsioon, mida võib pidada üldrelatiivsusteooria alaseks, on Einsteini 1908 avaldatud töö gravitatsiooni ja kiirenduse mõjust valguse käitumisele erirelatiivsusteoorias. Selles töös sõnastab ta juba ekvivalentsusprintsiibi ja ennustab gravitatsioonilist aja dilatatsiooni ja punanihet ning valguse kõrvalejuhtimist massiivsete kehade poolt.
Teooria põhiosa aga töötas Einstein välja siiski alles aastatel 1911–1915. Selle töö algust märgistab teine publikatsioon gravitatsiooni mõjust valgusele (1911), milles Einstein jätkab 1908. aasta publikatsioonis alustatud tööd.[3]
Enne töö lõpuleviimist avaldas Einstein 1913 relatiivsusteooria kavandi, mis kasutas juba kõverat aegruumi.[4] Probleemide tõttu üldise kovariantsuse printsiibiga, mis osutus lõpuks ikkagi õigeks, kasutas Einstein vahepeal vale lähenemist, enne kui ta selle probleemi 1915 lahendas. Ta pidas ka ettekandeid oma töö kohta ning arutas asja matemaatikutega, eriti Marcel Grossmanni ja David Hilbertiga.
Oktoobris 1915 avaldas Einstein töö Merkuuri periheeli nihkumise kohta[5], milles ta veel lähtus valedest väljavõrranditest, mis ei olnud ühitatavad energia ja impulsi lokaalse jäävusega. Novembris 1915 leidis Einstein õiged väljavõrrandid ja avaldas need Preisi Teaduste Akadeemia istungiaruannetega 25. novembril 1915 koos arvutustega Merkuuri periheeli nihkumise kohta ja valguse kõrvalekaldumise kohta Päikese massi tõttu. Hilbert esitas viis päeva varem oma töö avaldamiseks Göttingeni Kuninglikule Teadusseltsile. Ent Hilberti töö korrektuurpoognatelt (erinevalt hiljem avaldatud redaktsioonist) puudusid väljavõrrandid[6], ent korrektuurpoognad ei ole täielikult säilinud.[7] Einsteini hilisemat artiklit "Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie" võib pidada esimeseks ülevaateartikliks üldrelatiivsusteooria kohta. See avaldati 20. märtsil 1916 ajakirjas Annalen der Physik, kaks kuud pärast seda, kui Einstein oli Preisi Teaduste Akadeemiale ette kandnud oma väljavõrrandite lahendi, mis pärines Schwarzschildilt.[8]
Hilbertilt pärineb üldrelatiivsusteooria mõjufunktsionaal, mille ta tuletas oma 1916 avaldatud artiklis.[9]
Aastal 1963 avaldas Roy Kerr tema järgi kirjeldatud Kerri meetrika, mille abil saab kirjeldada pöörleva musta augu lähedal olevat aegruumi osa.[13]
Laiendus elektrilaenguga ja pöörlevatele mustadele aukudele on 1965 leitud Kerri-Newmani meetrika.[14]
Kui Einstein sai aru, et tema väljavõrrandid ei võimalda staatilist Universumi juurde, võttis ta 1918 kasutusele kosmoloogilise konstandi.[1]
Aastal 1922 leidis Alexander Friedmann ilma kosmoloogilise konstandita väljavõrrandite lahendi [15], mis lubas paisuvat või kokkutõmbuvat Universumit, ja 1927 leidis Georges Lemaître täpse lahendi paisuva Universumi jaoks.[16]
Kui Edwin Hubble avaldas 1929 oma vaatlused punanihke kohta[17] ning tõendas sellega Universumi paisumist, loobus Einstein kosmoloogilisest konstandist ja nimetas seda George Gamowi sõnul oma suurimaks väärsammuks. Tänapäeva astronoomias arvestatakse siiski mitte nulliga võrduva kosmoloogilise konstandi võimalusega.
Robertsoni-Walkeri meetrika on Lemaître'i lahendi edasiarendus, mille formuleerisid teineteisest sõltumatult Howard Percy Robertson (1935)[18]
ja Arthur Geoffrey Walker (1936)[19]. Ka see on väljavõrrandite täpne lahend ning kirjeldab paisuvat, homogeenset ja isotroopset Universumit, mistõttu teda kasutatakse mudelina meie Universumi kirjeldamiseks. Seetõttu on tal kosmoloogias väga suur tähtsus.
↑Øyvind Grøn, Sigurd Kirkevold Næss. – An electromagnetic perpetuum mobile? General Relativity and Quantum Cosmology, 2008. Veebis (Selgitus elektroni "vaba langemise" kohta.)
↑Albert Einstein: Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes. – Annalen der Physik, 35, 1911, lk 898–908 (Faksiimile).
↑Albert Einstein, Marcel Grossmann. Entwurf einer verallgemeinerten Relativitätstheorie und einer Theorie der Gravitation. – Zeitschrift für Mathematik und Physik, 62, 1913, lk 225–261.
↑Albert Einstein. Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie. – Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, 1915, lk 831–839
↑Sellele osutasid Corry, Renn ja Stachel (Science, lk 278, 1997, lk 1270
↑F. Winterberg. Zeitschrift für Naturforschung A., 59, 2004, lk 715, põhjalikult raamatus: Daniela Wuensch. Zwei wirkliche Kerle, Termessos Verlag, 2. trükk 2007. Vaata ka: Klaus P. Sommer: Wer entdeckte die Allgemeine Relativitätstheorie? Prioritätsstreit zwischen Hilbert und Einstein. – Physik in unserer Zeit, 36, nr 5, 2005, lk 230–235.
↑Albert Einstein. Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. – Annalen der Physik, kd 354, 1916, nr 7, lk 769–822. Veebiversioon
↑David Hilbert. Die Grundlagen der Physik. – Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, Nachrichten (1915). lk 395–407.
↑Karl Schwarzschild: Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie. – Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1, 1916, lk 189–196. (Faksiimile Commonsis, PDF; [alaline kõdulink] Vikitekstides])
↑Hans Reissner. Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie. – Annalen der Physik, 50, 1916, lk 106–120 (Faksiimile).
↑Gunnar Nordström. On the Energy of the Gravitational Field in Einstein’s Theory. – Proc. Kon. Ned. Akad. Wet. 20, 1918, lk 1238–1245.
↑Roy Patrick Kerr. Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics. – Physical Review Letters, 11, 1963, lk 237–238.
↑E. T. Newman; R. Couch; K. Chinnapared; A. Exton; A. Prakash; R. Torrence. Metric of a Rotating, Charged Mass. – J. Math. Phys, 6, 1965, lk 918–919.
↑Alexander Friedmann. Über die Krümmung des Raumes. –Zeitschrift für Physik. 10, 1922, lk 377–386.
↑Georges Lemaître. Un Univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extragalactiques. – Annales de la Société Scientifique de Bruxelles, XLVII, 1927, lk 49–59.
↑Edwin Hubble. A relation between distance and radial velocity among extra-galactic nebulae. – Proceedings of the National Academy of Sciences, kd 15, nr 3, 1929, lk 168–173. Veebiversioon
↑Howard Percy Robertson. Kinematics and World Structure. – Astrophysical Journal, 82, 1935, lk 284–301 (faksiimile: Part I, Part II, Part III).
↑Arthur Geoffrey Walker. On Milne’s Theory of World-Structure. – Proceedings of the London Mathematical Society, 42, 1936, lk 90–127.
Albert Einstein. "Eri- ja üldrelatiivsusteooriast (üldarusaadavalt)". Tõlkinud, märkused ja saatesõna kirjutanud Piret Kuusk. Tartu: Ilmamaa, 2022. ISBN 9789985778067
