Vektorväli

Vektorväli, mis tekib, kui tasandi punktile (x, y) seatakse vastavusse vektor (−y, x)

Vektorväljaks nimetatakse vektoranalüüsis funktsiooni, mis seab eukleidilise ruumi (või lokaalselt eukleidilise ruumi) igale punktile vastavusse vektori.

Vektorväljad on füüsikas sageli mudeliks. Nendega modelleeritakse näiteks voolava aine voolamise kiirust (sealhulgas suunda) eri punktides, mingi jõu (näiteks magnetjõu või gravitatsioonijõu) tugevust ja suunda eri punktides.

Üldisel kujul defineeritakse (puutuja)vektorvälju muutkondadel muutkonna puutujakihtkonna lõigetena. Nad on teatud tüüpi tensorväljad muutujal.

Definitsioon

Vektorväljad eukleidilise ruumi alamhulkadel

Olgu antud n-mõõtmelise eukleidilise ruumi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ lahtine ja sidus alamhulk S. Vektorväli on antud vektorfunktsiooniga ${\displaystyle V_{x}:S\to \mathbb {R} ^{n}}$ tavalistes eukleidilistes koordinaatides (x₁, ..., x_n). Kui hulgal S on veel teine koordinaadisüsteem y, siis uutes koordinaatides y avaldub seesama vektorväli kujul ${\displaystyle V_{y}:={\frac {\partial y}{\partial x}}V_{x}}$. Seega ei ole vektorväli lihtsalt skalaarväljade kogum.

Kui vektorväli V on k korda pidevalt diferentseeruv funktsioon, siis öeldakse, et V on C^k-vektorväli.

Kui vektor on hulga S punktis A null (${\displaystyle V(p)=0}$), siis nimetatakse punkti A statsionaarseks punktiks.

n-mõõtmelises ruumis saab vektorvälja näitlikustada igale punktile rakendatud n-mõõtmelise vektori abil.

Olgu antud kaks hulgal S defineeritud C^k-vektorvälja V ja W ning hulgal S määratud reaalarvuliste väärtustega C^k-funktsioon f. Siis määravad skalaariga korrutamine ja vektorite liitmine

${\displaystyle (fV)(p):=f(p)V(p)}$

${\displaystyle (V+W)(p):=V(p)+W(p)}$

C^k-vektorväljade mooduli üle C^k-funktsioonide ringi.

Vektorväljad muutkondadel

Vektorväli kerapinnal

Olgu antud muutkond M. Siis vektorväli muutkonnal M seab muutkonna igale punktile vastavusse puutujavektori selles punktis. Teiste sõnadega, muutkonna M iga punkti x jaoks on määratud mingi puutujavektor selles punktis. Abstraktsemas keeles väljendatuna tähendab see, et vektorväli on puutujakihtkonna TM lõige.

Kui vektorväli kujutab endast pidevat, diferentseeruvat, siledat või analüütilist funktsiooni, siis me nimetame vektorvälja vastavalt pidevaks, diferentseeruvaks, siledaks või analüütiliseks. Tähtis on märkida, et need omadused on koordinaadistiku vahetuse korral invariantsed, nii et neid võib avastada, kui kasutada lokaalset väljendust mis tahes pideval, diferentseeruval, siledal või vastavalt analüütilisel kaardil.

Kõikide vektorväljade kogumit muutkonnal M tähistatakse sageli Γ(TM) või C^∞(M,TM), eriti kui neid vaadeldakse puutujakihtkonna lõigetena; kõikide siledate vektorväljade kogumit tähistatakse mõnikord ka ${\displaystyle {\mathfrak {X}}(M)}$.