Álgebra sobre un cuerpo

En matemáticas, un álgebra sobre un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, o una ${\displaystyle \mathbb {K} }$-álgebra, es un espacio vectorial ${\displaystyle A}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$ equipado con una noción compatible de multiplicación de elementos de ${\displaystyle A}$. Una generalización directa admite que ${\displaystyle \mathbb {K} }$ sea cualquier anillo conmutativo. Algunos autores^[1]​ utilizan el término "álgebra" como sinónimo de "álgebra asociativa".

Definiciones

Para ser exactos, sea ${\displaystyle (V_{\mathbb {K} },+)}$ un espacio vectorial sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, y supongamos que existe una operación binaria definida entre vectores:

${\displaystyle \cdot :V_{\mathbb {K} }\times V_{\mathbb {K} }\to V_{\mathbb {K} }}$

Tal que es bilineal, es decir, tal que para todo ${\displaystyle u,v,w\in V,\lambda \in \mathbb {K} }$:

1. ${\displaystyle u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w}$
2. ${\displaystyle (v+w)\cdot u=v\cdot u+w\cdot u}$
3. ${\displaystyle u\cdot (\lambda v)=(\lambda u)\cdot v=\lambda (u\cdot v)}$

Entonces con esta operación, ${\displaystyle V_{\mathbb {K} }}$ se convierte en un álgebra sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$ y ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es el cuerpo base del álgebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(V_{\mathbb {K} },+,\cdot )}$.

Las álgebras también se pueden definir más generalmente sobre cualquier anillo unitario ${\displaystyle R}$: necesitamos un módulo ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ sobre ${\displaystyle R}$ y una operación bilineal sobre el espacio vectorial como la arriba descrita; entonces ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ es una ${\displaystyle R}$-álgebra, y ${\displaystyle R}$ es el anillo bajo ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Dos álgebras ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ y ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$ son isomorfas si existe una aplicación lineal biyectiva ${\displaystyle f:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ tal que ${\displaystyle f(\mathbf {xy} )=f(\mathbf {x} )f(\mathbf {y} )}$ para todo ${\displaystyle x,y\in {\mathcal {A}}}$. Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomorfas son idénticas; solamente se diferencian en la notación de sus elementos.

Características

Para las álgebras sobre un cuerpo, la multiplicación bilineal de ${\displaystyle {\mathcal {A}}\times {\mathcal {A}}}$ a ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ está determinada totalmente por la multiplicación de los elementos de la base de ${\displaystyle A}$. Inversamente, una vez que ha sido elegida una base para ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, los productos de los elementos de base se pueden fijar arbitrariamente, y entonces extender de una manera única a un operador bilineal en ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, es decir de modo que la multiplicación que resulta satisfaga las leyes del álgebra.

Así, dado el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, cualquier álgebra se puede especificar salvo un isomorfismo dando su dimensión (digamos ${\displaystyle n}$), y especificar los ${\displaystyle n^{3}}$ coeficientes de estructura ${\displaystyle c_{i,j,k}}$, que son escalares. Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ vía la regla siguiente:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=\sum _{k=1}^{n}c_{i,j,k}\mathbf {e} _{k}}$

Donde ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}$ una base de ${\displaystyle A}$. El único requisito en los coeficientes de la estructura es que, si la dimensión ${\displaystyle n}$ es un número infinito, entonces esta suma debe converger (en cualquier sentido que sea apropiado para la situación). Observe, sin embargo, que diversos conjuntos de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomorfas.

En física matemática, los coeficientes de estructura se escriben a menudo ${\displaystyle c_{i,j}^{k}}$, y se escribe usando el convenio de sumación de Einstein como

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=c_{i,j}^{k}}$

Si se aplica esto a vectores escritos en notación de índice, entonces se convierte en:

${\displaystyle (\mathbf {xy} )^{k}=c_{i,j}^{k}x^{i}y^{j}}$

Si ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es solamente un anillo conmutativo y no un cuerpo, entonces lo mismo funciona si ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ es un módulo libre sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$. Si no es, entonces la multiplicación todavía está determinada totalmente por su acción en un conjunto generador de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y saber solamente las constantes de estructura no específica el álgebra módulo isomorfismo.

Clases de álgebra y ejemplos

Un álgebra conmutativa es una en que la multiplicación es conmutativa; un álgebra asociativa es una en que la multiplicación es asociativa. Éstas incluyen las clases más familiares de álgebra.

Álgebras asociativas

Entre los ejemplos de álgebra asociativa podemos destacar:

• el álgebra de todas las matrices ${\displaystyle n\times n}$ sobre el cuerpo (o anillo conmutativo) ${\displaystyle \mathbb {K} }$, a veces denotada como ${\displaystyle {\mathfrak {M}}_{2\times 2}(\mathbb {K} )}$. Aquí la multiplicación es multiplicación ordinaria de matrices.
• las álgebra grupo, donde un grupo sirve de base del espacio vectorial y la multiplicación del álgebra amplía la multiplicación del grupo.
• el álgebra conmutativa ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ de todos los polinomios sobre ${\displaystyle \mathbb {K} }$, es un espacio vectorial de dimensión infinita ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (alef-0) sobre el cuerpo en el que se definen.
• las álgebras de funciones, tales como el ${\displaystyle \mathbb {R} }$-álgebra de todas las funciones continuas real-valoradas definidas en el intervalo ${\displaystyle [0,1]}$, o la ${\displaystyle \mathbb {C} }$-álgebra de todas las funciones holomórficas definidas en algún conjunto abierto en el plano complejo. Éstas son también conmutativos.
• las álgebras de incidencia se construyen sobre ciertos conjuntos parcialmente ordenados.
• las álgebras de operadores lineales, por ejemplo en un espacio de Hilbert. Aquí la multiplicación del álgebra viene dada por la composición de operadores. Estas álgebras también llevan una topología; se definen muchas de ellas en un espacio subyacente de Banach que las convierte en un álgebra de Banach. Si una involución se da también, obtenemos B-estrella-álgebras y C-estrella-álgebras. Éstas se estudian en análisis funcional.

Álgebras no asociativas

Las clases más conocidas de álgebras no-asociativas son las que son casi asociativas, es decir, en que una cierta ecuación simple obliga las diferencias entre diversas maneras de asociar la multiplicación de elementos. Éstos incluyen:

• Álgebra de Lie, para las cuales requerimos la identidad de Jacobi ${\displaystyle z(xy)+(yz)x+(zx)y=0}$ y anticonmutatividad: ${\displaystyle xx=0}$. Para estas álgebra el producto se llama el corchete de Lie y se escribe ${\displaystyle [x,y]}$ en vez de ${\displaystyle xy}$. Los ejemplos incluyen:
  • Espacio euclídeo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ con la multiplicación dada por el producto vectorial (con ${\displaystyle \mathbb {K} }$ el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de los números reales);
  • Álgebra de los campos vectoriales en una variedad diferenciable (si ${\displaystyle \mathbb {K} }$ es ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o los números complejos ${\displaystyle \mathbb {C} }$) o una variedad algebraica (para el general ${\displaystyle \mathbb {K} }$);
  • Cada álgebra asociativa da lugar a un álgebra de Lie usando el conmutador como corchete de Lie. De hecho cada álgebra de Lie se puede construir de esta manera, o es una subálgebra de un álgebra de Lie así construida.

• Álgebra de Jordan, para las cuales requerimos ${\displaystyle (xy)x^{2}=x(yx^{2})}$y también ${\displaystyle xy=yx}$.
  • Cada álgebra asociativa sobre un cuerpo de característica distinta de 2 da lugar a un álgebra de Jordan definiendo una nueva multiplicación ${\displaystyle xy={\frac {1}{2}}(xy+yx)}$. En contraste con el caso del álgebra de Lie, no toda álgebra de Jordan se puede construir de esta manera. Las que si se pueden se llaman especiales.

• Álgebras alternativas, para las cuales requerimos que ${\displaystyle (xx)y=x(xy)y(yx)x=y(xx)}$. Los ejemplos más importantes son los octoniones (un álgebra sobre los reales), y generalizaciones de los octoniones sobre otros cuerpos. (todas las álgebras asociativas son obviamente alternativas.) Salvo isomorfismo las únicas álgebras alternativas reales finito-dimensionales son los reales, los complejos, los cuaterniones y los octoniones.

• Álgebras potencia-asociativas, para las cuales requerimos que ${\displaystyle x^{m}x^{n}=x^{m+n}}$, donde ${\displaystyle m,n\geq 1}$. (aquí definimos formalmente ${\displaystyle x^{n+1}}$ recurrentemente como ${\displaystyle xx^{n}}$.) Los ejemplos incluyen todas las álgebras asociativas, todas las álgebras alternativas, y los sedeniones.

Más clases de álgebra

• Las álgebras de división, en las cuales el inverso multiplicativo existe o la división puede ser realizada. Las álgebras finito-dimensionales de división sobre el cuerpo de los números reales se pueden clasificar bien.

• Álgebras cuadráticas, para las cuales requerimos xx=re + sx, para algunos elementos r y s en el cuerpo de base, y e una unidad para el álgebra. Los ejemplos incluyen todas las álgebras alternativas finito-dimensionales, y el álgebra de las matrices reales 2-por-2. Salvo un isomorfismo las únicas álgebras reales alternativas, cuadráticas sin divisores de cero son los reales, los complejos, los cuaterniones, y los octoniones.

• Las álgebras de Cayley-Dickson (donde K es R, que comienzan con:
  • C (una álgebra conmutativa y asociativa);
  • los cuaterniones H (una álgebra asociativa);
  • los octoniones (un álgebra alternativa);
  • los sedeniones (un álgebra potencia-asociativa, como todas las álgebras de Cayley-Dickson).

• Las álgebras de Poisson se consideran en la cuantización geométrica. Tienen dos multiplicaciones, haciéndolas álgebras conmutativas y álgebras de Lie de diversas maneras.

Véase también

• Álgebra de Clifford
• Álgebra geométrica
• Álgebra simple central

Referencias

1. ÁLGEBRA INTERMEDIA AUFMANN https://www.udocz.com

• Richard D. Schafer, An Introduction to Nonassociative Algebras (1996) ISBN 0-486-68813-5.
• Ernst Kunz, Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry, Birkhauser 1985, ISBN 0-8176-3065-1.

• Datos: Q1000660