En álgebra abstracta, la característica de un anillo
es definida como el entero positivo más pequeño
tal que
. Si no existe tal
, se dice que la característica de
es 0.
De forma alternativa y equivalente, podemos definir la característica del anillo
como el único número natural
tal que
contenga un subanillo isomorfo al anillo cociente
.
El caso de anillos
Si
y
son anillos y existe un homomorfismo de anillos
,
entonces la característica de
divide la característica de
. Esto puede a veces ser utilizado para excluir la posibilidad de cierto homomorfismo de anillos. El único anillo con característica 1 es el anillo trivial, el cual contiene un solo elemento 0=1. Si el anillo no trivial
no tienen ningún divisor de cero, entonces su característica es 0 o primo. En particular, esto se aplica a todo cuerpo, a todo dominio de integridad y a todo anillo de división. Todo anillo de característica 0 es infinito.
El anillo
de los enteros módulo
tiene característica
. Si
es un subanillo de
, entonces
y
tienen la misma característica. Por ejemplo, si
es un polinomio primo con coeficientes en el cuerpo
donde
es primo, entonces el anillo factor
es un cuerpo de característica
. Como los números complejos contienen a los racionales, su característica es 0.
Si un anillo conmutativo
tiene característica prima
, entonces se tiene que
para todo elemento
e
en
.
La aplicación
![{\displaystyle f(x)=x^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/287686868142439d014dfc66870fcb01efab941b)
define un homomorfismo de anillos
,
Este es llamado el endomorfismo de Frobenius. Si
es un dominio de integridad este es inyectivo.