En matemáticas, una transformación geométrica es cualquier biyección de un conjunto a sí mismo (o a otro conjunto de este tipo) con algún sustento geométrico destacado. Más específicamente, es una función cuyo dominio y rango son conjuntos de puntos - más a menudo ambos R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} o ambos R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} - de tal manera que la función es inyetiva para que su inversa exista.[1] El estudio de la geometría puede abordarse a través del estudio de estas transformaciones.[2]
Las transformaciones geométricas pueden clasificarse por la dimensión de sus conjuntos de operandos (distinguiendo así entre, por ejemplo, las transformaciones planas y las transformaciones espaciales). También se pueden clasificar según las propiedades que preservan:
Cada una de estas clases contiene a la anterior.[8]
Las transformaciones del mismo tipo forman grupos que pueden ser subgrupos de otros grupos de transformación.
Muchas transformaciones geométricas se expresan con álgebra lineal. Las transformaciones lineales biyectivas son elementos de un grupo lineal general. La transformación lineal A es no singular. Para un vector fila v, el producto matricial vA da otro vector fila w = vA.
La transpuesta de un vector fila v es un vector columna vT, y la transpuesta de la igualdad anterior es w T = ( v A ) T = A T v T {\displaystyle w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}} . Aquí AT proporciona una acción izquierda en los vectores de columna.
En geometría de transformación hay composiciones AB. Comenzando con un vector fila v, la acción correcta de la transformación compuesta esw = vAB. Después de la transposición,
Así, para AB la acción de grupo izquierda asociada es B T A T . {\displaystyle B^{T}A^{T}.} En el estudio de los grupos opuestos, se hace la distinción entre acciones de grupos opuestos, pues los únicos grupos para los cuales estos opuestos son iguales son los grupos conmutativos.