En matemática, el teorema multinomial describe cómo se expande una potencia de una suma de variables, en términos de potencias de las variables de esa suma. Es la generalización del teorema del binomio a multinomios.
Para cualquier entero positivo m y cualquier entero no negativo n, el teorema indica cómo una suma con m términos se expande cuando se eleva a una potencia arbitraria n:
donde ( n k 1 , k 2 , … , k m ) = n ! k 1 ! k 2 ! ⋯ k m ! {\textstyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}} es un coeficiente multinomial. La suma se toma sobre todas las combinaciones de índices enteros no-negativos k 1 {\displaystyle k_{1}} a k m {\displaystyle k_{m}} , cuya suma sea igual a n:
k i ≥ 0 / k 1 + k 2 + ⋯ + k m = n . {\displaystyle k_{i}\geq 0\quad /\quad k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n.}
Es decir, para cada término de la expansión, los exponentes de las variables x i {\displaystyle x_{i}} deben sumar n. Además, al igual que con el teorema del binomio, las cantidades de la forma x i 0 {\displaystyle x_{i}^{0}} , se toman como iguales a 1 (incluso cuando x i {\displaystyle x_{i}} es igual a 0).
En el caso en que se tienen m = 2 {\displaystyle m=2} variables, esta afirmación se reduce a la del Teorema del binomio:
( x 1 + x 2 ) n = ∑ k 1 + k 2 = n ( n k 1 , k 2 ) x 1 k 1 x 2 k 2 = ∑ k 1 = 0 n n ! k 1 ! ( n − k 1 ) ! x 1 k 1 x 2 n − k 1 = ∑ k 1 = 0 n ( n k 1 ) x 1 k 1 x 2 n − k 1 . {\displaystyle (x_{1}+x_{2})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}=n}{n \choose k_{1},k_{2}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}=\sum _{k_{1}=0}^{n}{\frac {n!}{k_{1}!(n-k_{1})!}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{n-k_{1}}=\sum _{k_{1}=0}^{n}{n \choose k_{1}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{n-k_{1}}.}
Consideremos el caso de m = 3 {\displaystyle m=3} variables y exponente n = 5 {\displaystyle n=5} . Es decir, queremos desarrollar la siguiente potencia de una suma de tres variables: ( x 1 + x 2 + x 3 ) 5 {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+x_{3})^{5}} . El teorema del multinomio afirma que el desarrollo es de la forma:
( x 1 + x 2 + x 3 ) 5 = ∑ k 1 + k 2 + k 3 = 5 ( 5 k 1 , k 2 , k 3 ) x 1 k 1 x 2 k 2 x 3 k 3 {\displaystyle (x_{1}+x_{2}+x_{3})^{5}=\sum _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=5}{5 \choose k_{1},k_{2},k_{3}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}x_{3}^{k_{3}}} , donde se define cada coeficiente multinomial como: ( 5 k 1 , k 2 , k 3 ) = 5 ! k 1 ! k 2 ! k 3 ! {\displaystyle {5 \choose k_{1},k_{2},k_{3}}={\frac {5!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!}}} .
Es decir que se tiene un sumando por cada terna de exponentes enteros no negativos k 1 , k 2 , k 3 {\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3}} , cuya suma sea cinco: k 1 + k 2 + k 3 = 5 {\displaystyle k_{1}+k_{2}+k_{3}=5} . Por ejemplo, los valores k 1 = 3 , k 2 = 0 , k 3 = 2 {\displaystyle k_{1}=3,k_{2}=0,k_{3}=2} , corresponden al sumando x 1 3 x 2 0 x 3 2 = x 1 3 x 3 2 {\displaystyle x_{1}^{3}x_{2}^{0}x_{3}^{2}=x_{1}^{3}x_{3}^{2}} . El teorema del multinomio afirma que el coeficiente que multiplica a dicho sumando es: ( 5 3 , 0 , 2 ) = 5 ! 3 ! 0 ! 2 ! = 10. {\displaystyle {5 \choose 3,0,2}={\frac {5!}{3!0!2!}}=10.}