En la teoría de cuerpos (una rama del álgebra), una extensión simple es una extensión de cuerpos
de manera que L está generado por un solo elemento, al cual se lo denomina elemento primitivo. Dicho de otro modo, un elemento primitivo de una extensión de cuerpos L/K es un elemento ζ de L tal que
- L = K(ζ),
o en otras palabras, L está generado por ζ sobre K. Esto significa que todo elemento de L puede ser escrito como cociente de dos polinomios en ζ con coeficientes en K.
Si la extensión L/K es simple (es decir, si admite un elemento primitivo), entonces L puede ser una extensión finita de K (caso en el que ζ es un elemento algebraico de L sobre K), o en cambio L es isomorfo al cuerpo de funciones racionales sobre K en una indeterminada (en este caso ζ es un elemento trascendente de L sobre K).
Construcción
Sean
y
dos cuerpos de manera que
es extensión de
. Se define la extensión generada por
sobre
como el conjunto
.
Así
es exactamente el conjunto de los valores que se obtienen al evaluar en
todas las funciones racionales definidas en
.
Propiedades
es un subconjunto de
:
- Todo elemento de
está también en
, y como
, si
entonces
. Si
entonces es
, y si
, existe
. Así pues,
y es
.
- De hecho,
es subcuerpo de
.
- Definimos las operaciones suma y producto en
como las restricciones a
de las operaciones del cuerpo de cocientes de
, i.e., si
, entonces:
![{\displaystyle \mathrm {i} )\quad {\frac {f(\alpha )}{g(\alpha )}}+{\frac {p(\alpha )}{q(\alpha )}}:={\frac {f(\alpha )q(\alpha )+p(\alpha )g(\alpha )}{g(\alpha )q(\alpha )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41cde7e4339be7bb8aee698df8a5115cbf1791c5)
.
- Por ser
un anillo y
un cuerpo, es sencillo demostrar que la suma y el producto así definidos en
son operaciones internas en
.
- Como
es cuerpo, en particular es dominio de integridad, y por la Propiedad Universal del Cuerpo de Cocientes de un Dominio Íntegro, el cuerpo de cocientes de
es
(el menor cuerpo que contiene a
es el propio
). Así se demuestra que
, con las operaciones así definidas, es subcuerpo de
.
es un subconjunto de ![{\displaystyle K(\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2892c42db68269b951dfb7bd08f87b097e4d909)
- Para comprobar que
, basta con tomar el cociente
para cada
(donde identificamos
con el polinomio constante
). Además, como las operaciones en
son las extensiones de las operaciones en
, es inmediato que
es subcuerpo de
.
- Tomando el polinomio
, entonces es
, luego
.
- Todo esto demuestra que
es una extensión de
y subcuerpo de
.
- Finalmente,
es la menor extensión de
que contiene a
:
- Sea ahora una extensión
de
de forma que
. Como
y
, si
, entonces
, y como
, entonces
. Por último, como
es cuerpo, si
, entonces existe
y
, luego
.
- Queda entonces demostrado que
es la menor extensión de
que contiene a
. A este proceso se le denomina a veces adjunción de un elemento
a un cuerpo
.
Observaciones
Una extensión simple
puede ser algebraica o trascendente, dependiendo de si
es un elemento algebraico o trascendente sobre
. Si
es trascendente, entonces el grado
de la extensión es infinito. Si
es algebraico, entonces el grado
de la extensión es finito. En concreto,
, siendo
el polinomio mónico irreducible de
sobre
. Se deduce que toda extensión simple que sea algebraica es de grado finito.
Recíprocamente, si la extensión L/K admite un elemento primitivo, entonces L puede ser una extensión finita de K, caso en el que ζ es un elemento algebraico de L sobre K, o en cambio L es isomorfo al cuerpo de funciones racionales sobre K en una indeterminada, en este caso ζ es un elemento trascendente de L sobre K.
Teorema del elemento primitivo
El teorema del elemento primitivo responde a la pregunta de qué extensiones finitas de cuerpos tienen elementos primitivos, es decir, son simples. Por ejemplo, no es obvio que si se junta al cuerpo Q de números racionales las raíces de los siguientes polinomios
- X2 − 2
y
- X2 − 3,
llamadas α y β respectivamente, para obtener un cuerpo K = Q(α, β) de grado 4 sobre Q, donde K es Q(γ) para un elemento primitivo γ. De hecho, se puede ver que
- γ = α + β
Las potencias de γi para 0 ≤ i ≤ 3 pueden ser expresadas como combinación lineal de 1, α, β y αβ a coeficientes enteros. Tomando dichas igualdades como un sistema lineal de ecuaciones, se puede resolver para α y β sobre Q(γ), la cual cosa implica que dicha elección de γ es en realidad un elemento primitivo en este ejemplo.
Enunciado
En general, el teorema del elemento primitivo se enuncia de la siguiente forma:
La extensión de cuerpo L/K es finita y tiene un elemento primitivo si y solo si hay un número finito de subextensiones de cuerpos F con K ⊆ F ⊆ L.
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Consecuencias
Un importante corolario de dicho teorema afirma:
Dicho corolario es aplicable al ejemplo expuesto más arriba (y a muchos similares), ya que Q tiene característica 0 por lo que toda extensión finita sobre Q es separable.
Para extensiones inseparables (o no separables), se puede afirmar lo siguiente:
Si el grado de la extensión [L:K] es un número primo, entonces L/K tiene un elemento primitivo.
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Si el grado de la extensión no es un número primo y la extensión no es separable, se pueden encontrar contraejemplos. Por ejemplo, si K es Fp(T,U), el cuerpo de las funciones racionales con dos indeterminadas T y U sobre el cuerpo finito con p elementos, y L se obtiene a partir de K adjuntando una raíz pesima de T, y de U, entonces no existe ningún elemento primitivo de L sobre K. De hecho se puede ver que para cualquier α en L, el elemento αp pertenece a K. Además tenemos que [L:K] = p2 pero no existen elementos de L con grado p2 sobre K, como un elemento primitivo debería tener.
Véase también
Enlaces externos