Empaquetado de círculos en un cuadrado

El empaquetado de círculos en un cuadrado es un problema de empaquetado propio de la matemática recreativa, donde el objetivo es empaquetar n circunferencias unidad en el cuadrado más pequeño posible. De manera equivalente, el problema es organizar n puntos en un cuadrado unitario con el objetivo de obtener la mayor separación mínima d_n entre los puntos.^[1]​ Para hacer equivalentes estas dos formulaciones del problema, el lado del cuadrado en el que se alojan los círculos unitarios será L = 2 + 2/d_n.

Soluciones

Se han calculado soluciones (no necesariamente óptimas) para cada N ≤ 10.000. A continuación se muestran las soluciones^[2]​ hasta N =20.^[2]​ El empaquetamiento de cuadrados obvio es óptimo para 1, 4, 9, 16, 25 y 36 círculos (los seis enteros cuadrados más pequeños), pero deja de ser óptimo para cuadrados más grandes a partir de 49 en adelante.^[2]​

Número de círculos (n)	Lado del cuadrado (L)	dn[1]​	Densidad (n/L^2)	Figura
1	2	∞	0.25
2	${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$ ≈ 3.414...	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ≈ 1.414...	0.172...
3	${\displaystyle 2+{\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {6}}{2}}}$ ≈ 3.931...	${\displaystyle {\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}$ ≈ 1.035...	0.194...
4	4	1	0.25
5	${\displaystyle 2+2{\sqrt {2}}}$ ≈ 4.828...	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ≈ 0.707...	0.215...
6	${\displaystyle 2+{\frac {12}{\sqrt {13}}}}$ ≈ 5.328...	${\displaystyle {\frac {\sqrt {13}}{6}}}$ ≈ 0.601...	0.211...
7	${\displaystyle 4+{\sqrt {3}}}$ ≈ 5.732...	${\displaystyle 4-2{\sqrt {3}}}$ ≈ 0.536...	0.213...
8	${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}$ ≈ 5.863...	${\displaystyle {\frac {\sqrt {6}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$ ≈ 0.518...	0.233...
9	6	0.5	0.25
10	6.747...	0.421... A281065	0.220...
11	${\displaystyle 3+{\sqrt {2}}+{\frac {\sqrt {6}}{2}}+{\frac {\sqrt {2+4{\sqrt {2}}}}{2}}}$ ≈ 7.022...	0.398...	0.223...
12	${\displaystyle 2+15{\sqrt {\frac {2}{17}}}}$ ≈ 7.144...	${\displaystyle {\frac {\sqrt {34}}{15}}}$ ≈ 0.389...	0.235...
13	7.463...	0.366...	0.233...
14	${\displaystyle 6+{\sqrt {3}}}$ ≈ 7.732...	${\displaystyle {\frac {8}{13}}-{\frac {2{\sqrt {3}}}{13}}}$ ≈ 0.349...	0.226...
15	${\displaystyle 4+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}$ ≈ 7.863...	${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ≈ 0.341...	0.243...
16	8	0.333...	0.25
17	8.532...	0.306...	0.234...
18	${\displaystyle 2+{\frac {24}{\sqrt {13}}}}$ ≈ 8.656...	${\displaystyle {\frac {\sqrt {13}}{12}}}$ ≈ 0.300...	0.240...
19	8.907...	0.290...	0.240...
20	${\displaystyle {\frac {130}{17}}+{\frac {16}{17}}{\sqrt {2}}}$ ≈ 8.978...	${\displaystyle {\frac {3}{8}}-{\frac {\sqrt {2}}{16}}}$ ≈ 0.287...	0.248...

Empaquetado de círculos en un rectángulo

También se ha investigado el empaquetado denso de círculos en rectángulos.^[3]​^[4]​

Véase también

• Empaquetado de cuadrados
• Cuadratura del cuadrado
• Empaquetado de rectángulos
• Problema del sofá

Referencias

1. Croft, Hallard T.; Falconer, Kenneth J.; Guy, Richard K. (1991). Unsolved Problems in Geometry. New York: Springer-Verlag. pp. 108–110. ISBN 0-387-97506-3. 
2. Eckard Specht (20 de mayo de 2010). «The best known packings of equal circles in a square». Consultado el 25 de mayo de 2010. 
3. Lubachevsky, Boris D.; Graham, Ronald L. (2009). «Minimum perimeter rectangles that enclose congruent non-overlapping circles». Discrete Mathematics (Elsevier BV) 309 (8): 1947-1962. ISSN 0012-365X. S2CID 783236. arXiv:math/0412443. doi:10.1016/j.disc.2008.03.017. 
4. Specht, E. (2013). «High density packings of equal circles in rectangles with variable aspect ratio». Computers & Operations Research (Elsevier BV) 40 (1): 58-69. ISSN 0305-0548. doi:10.1016/j.cor.2012.05.011. 

• Datos: Q5121499