Distribución del mínimo de una muestra

Sean las variables aleatorias ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución ${\displaystyle F_{X}(x)}$ y función de densidad ${\displaystyle f_{X}(x)}$. Sea también la variable ${\displaystyle Y}$ definida por: ${\displaystyle Y=min(X_{1},X_{2},...,X_{n})}$. Entonces, la función de distribución del mínimo de la muestra está dada por: ${\displaystyle F_{Y}(y)=1-[1-F_{X}(y)]^{n}}$, y su función de densidad: ${\displaystyle f_{Y}(y)=n[1-F_{X}(y)]^{n-1}f_{X}(y)}$.

Demostración

Se parte de la demostración de la distribución del máximo de una muestra. Supongamos que ${\displaystyle G(y)}$ es la función de distribución de Y, entonces:

${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(min(X_{1},...,X_{n})\leq y)}$

A diferencia del máximo, el mínimo de ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ puede ser menor que ${\displaystyle y}$, mientras que muchos de los ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ pueden ser mayores. Por esta razón se trabaja con el complemento del evento ${\displaystyle min(X_{1},X_{2},...,X_{n})\leq y}$, es decir, con ${\displaystyle min(X_{1},X_{2},...,X_{n})>y}$.

Como ${\displaystyle X_{i}\geq min(X_{1},...,X_{n})}$ para ${\displaystyle i=1,2,...,n}$, el evento ${\displaystyle min(X_{1},...,X_{n})>y}$ es equivalente al evento ${\displaystyle (X_{1}>y,X_{2}>y,...,X_{n}>y)}$. Es decir sea mayor que un número ${\displaystyle y}$, cada una de las ${\displaystyle X_{i}}$ tiene que ser mayor que ese número ${\displaystyle y}$. Por lo tanto:

${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)}$

${\displaystyle =P(min(X_{1},...,X_{n})\leq y)}$

${\displaystyle =1-P(min(X_{1},...,X_{n})>y)}$ (Complemento)

${\displaystyle =1-P(X_{1}>y,X_{2}>y,...,X_{n}>y)}$

${\displaystyle =1-P(X_{1}>y)P(X_{2}>y)...P(X_{n}>y)}$ (Independencia)

${\displaystyle =1-[P(X_{1}>y)]^{n}}$ (Distribución idéntica)

${\displaystyle =1-[1-F(y)]^{n}}$ (Definición)

Del mismo modo, la función de densidad de Y sería:

${\displaystyle g(y)=G(y)'=(1-[1-F(y)]^{n})'=n[1-F(y)]^{n-1}f(y)}$

Enlaces externos

Documento original (incluye ejemplos) http://www.edu-esta.org/materiales/probabilidad/dist_minimo.pdf (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).

• Datos: Q5808670