Distribución del máximo de una muestra

Sean las variables aleatorias ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ independientes e idénticamente distribuidas con función de distribución ${\displaystyle F_{X}(x)}$ y función de densidad ${\displaystyle f_{X}(x)}$. Sea también la variable ${\displaystyle Y}$ definida por: ${\displaystyle Y=max(X_{1},X_{2},...,X_{n})}$. Entonces, la función de distribución del máximo de la muestra está dada por: ${\displaystyle F_{Y}(y)=[F_{X}(y)]^{n}}$, y su función de densidad: ${\displaystyle f_{Y}(y)=n[F_{X}(y)]^{n-1}f_{X}(y)}$.

Demostración

Supongamos que ${\displaystyle G(y)}$ es la función de distribución de Y, entonces:

${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)=P(max(X_{1},...,X_{n})\leq y)}$

Como ${\displaystyle X_{i}\leq max(X_{1},...,X_{n})}$ para ${\displaystyle i=1,2,...,n}$, el evento ${\displaystyle max(X_{1},...,X_{n})\leq y}$. es equivalente al evento ${\displaystyle (X_{1}\leq y,X_{2}\leq y,...,X_{n}\leq y)}$. Es decir, para que el máximo de ${\displaystyle (X_{1},...,X_{n})}$ sea menor que ${\displaystyle y}$.

${\displaystyle y}$, cada una de las ${\displaystyle X_{i}}$ tiene que ser menor o igual a ese número ${\displaystyle y}$. Por lo tanto:

${\displaystyle G(y)=P(Y\leq y)}$

${\displaystyle =P(max(X_{1},...,X_{n})\leq y)}$

${\displaystyle =P(X_{1}\leq y,X_{2}\leq y,...,X_{n}\leq y)}$

${\displaystyle =P(X_{1}\leq y)P(X_{2}\leq y)...P(X_{n}\leq y)}$ (Independencia)

${\displaystyle =[P(X_{1}\leq y)]^{n}}$ (Distribución idéntica)

${\displaystyle =[F(y)]^{n}}$ (Definición)

Del mismo modo, la función de densidad de Y sería:

${\displaystyle g(y)=G(y)'=([F(y)]^{n})'=n[F(y)]^{n-1}f(y)}$

Enlaces externos

Documento original (incluye ejemplos) http://www.edu-esta.org/materiales/probabilidad/dist_maximo.pdf (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).

• Datos: Q5808666