Descomposición de una aplicación lineal

Isomorfismo canónico

Definición y teorema

Sean ${\displaystyle E}$ y ${\displaystyle F}$ dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo, o más generalmente, dos módulos sobre un mismo anillo. Sea ${\displaystyle f}$ una aplicación lineal, ${\displaystyle N=\ker(f)}$ su núcleo e ${\displaystyle I={\text{Im}}(f)}$ su imagen o codominio.

Teorema: Existe un isomorfismo canónico ${\displaystyle \phi }$:

${\displaystyle {\begin{matrix}\phi :&E/N&\longrightarrow &I\\\ &{\overline {a}}&\longmapsto &f(a)\end{matrix}}}$

donde ${\displaystyle {\overline {a}}={\hat {a}}=a+N}$ se puede ver como la clase de ${\displaystyle a}$ en ${\displaystyle E/N}$ ("a" módulo "N") o como el conjunto ${\displaystyle a+N=\{a+n:n\in N\}}$ de los elementos de la forma ${\displaystyle a+n}$ con ${\displaystyle n\in N}$.

Prueba

1. Primero hay que verificar que ${\displaystyle \phi }$ está bien definida, porque se ha definido ${\displaystyle \phi ({\hat {a}})}$ escogiendo un elemento ${\displaystyle a}$ (un representante) de la clase ${\displaystyle {\hat {a}}}$, y mirando su imagen por ${\displaystyle f}$. Hay que establecer que esta imagen no depende de esta elección.
   Sea entonces ${\displaystyle u\in {\hat {a}}}$ otro elemento de ${\displaystyle {\hat {a}}}$. Las clases de ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle u}$ son idénticas: ${\displaystyle {\hat {a}}={\hat {u}}}$, lo que se puede escribir también: ${\displaystyle a+N=u+N}$. Entonces ${\displaystyle u-a+N=N}$, lo que significa que ${\displaystyle u-a\in N}$ (porque ${\displaystyle n\in N}$, luego ${\displaystyle a-u+0}$ también).
   Luego existe ${\displaystyle n}$ en el núcleo de ${\displaystyle f}$ tal que ${\displaystyle u=a+n}$, entonces ${\displaystyle f(u)=f(a+n)=f(a)+f(n)=f(a)+0=f(a)}$ por linealidad.
   
2. ${\displaystyle \phi }$ es sobreyectiva: Todo elemento de la imagen ${\displaystyle I}$ es por definición de la forma ${\displaystyle f(a)}$ que vale ${\displaystyle \phi ({\hat {a}})}$; luego pertenece también a ${\displaystyle {\text{Im}}(\phi )}$.
   
3. ${\displaystyle \phi }$ es inyectiva: ${\displaystyle \phi ({\hat {a}})=0}$ significa que ${\displaystyle f(a)=0}$, es decir que ${\displaystyle a\in N}$. Entonces ${\displaystyle {\hat {a}}=a+N=o+N=N={\hat {o}}}$ que es el elemento neutro de ${\displaystyle E/N}$.

${\displaystyle \square }$

Descomposición de una aplicación lineal

Este isomorfismo se completa naturalmente en una descomposición de la aplicación lineal: ${\displaystyle f=i\circ \phi \circ \pi }$, donde ${\displaystyle i}$ es la inclusión canónica de ${\displaystyle I}$ en ${\displaystyle F}$ (${\displaystyle i(x)=x}$ para todo ${\displaystyle x\in I}$), y ${\displaystyle \pi }$ es la sobreyección canónica de ${\displaystyle E}$ sobre ${\displaystyle E/N}$ (${\displaystyle \pi (a)={\hat {a}}}$ para todo ${\displaystyle a\in E}$):

En efecto: ${\displaystyle i\circ \phi \circ \pi (a)=i\circ \phi ({\hat {a}})=\phi ({\hat {a}})=f(a)}$ para todo ${\displaystyle a\in E}$.

El diagrama precedente es conmutativo en el sentido siguiente:
Cuando existen dos caminos para ir de un punto a otro del diagrama, respetando claro está la orientación de las flechas, entonces se obtiene el mismo resultado por la composición de las aplicaciones.
En este nuevo ejemplo, los caminos verdes y rojos dan la misma aplicación: ${\displaystyle g\circ f=j\circ h}$ y el camino azul equivale al negro: ${\displaystyle m\circ k=g}$.

Ejemplos

1) Sea ${\displaystyle f}$ la aplicación que asocia a un entero ${\displaystyle n}$ su resto por la división euclidiana por 7 (escogido al azar).
Los restos posibles son 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6. La división de 6 por 7 da un resto de 6, mientras que la de 7 por 7 da como resto 0. Es por lo tanto lógico decidir que 0 sucede a 6 en este conjunto, que adquiere así una estructura circular. De hecho, se trata del anillo cíclico ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$:

${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}=\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}},{\overline {3}},{\overline {4}},{\overline {5}},{\overline {6}}\}}$

, provisto de la adición módulo 7 y de la multiplicación también módulo 7.

La aplicación ${\displaystyle f}$ es lineal como propiedad de las congruencias, es sobreyectiva porque cada cifra entre 0 y 6 corresponde a un resto posible: basta con tomar el dividendo igual a la cifra.

No es inyectiva, y su núcleo es ${\displaystyle \{...,-21,-21,-7,0,7,14,21...\}=7\mathbb {Z} }$ porque los dividendos que dan restos nulos son claramente los múltiplos de 7.

Como la inclusión ${\displaystyle i}$ es, como ${\displaystyle f}$, sobreyectiva, se vuelve biyectiva (una inclusión es por definición inyectiva) y podemos prescindir de ella en la descomposición:

La flecha en diagonal representa el isomorfismo canónico entre ${\displaystyle \mathbb {Z} /7\mathbb {Z} }$ y ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7}}$.

2) Consideremos el producto vectorial en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, por un vector dado. Para fijar las cosas, sea ${\displaystyle (\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} )}$ una base ortonormal directa del espacio usual, y estudiemos la aplicación que al vector ${\displaystyle \mathbf {u} }$ asocia el vector ${\displaystyle \mathbf {i} \times \mathbf {u} }$ (el producto vectorial se denota ${\displaystyle \times }$ o ${\displaystyle \wedge }$, según los países).

Su descomposición es la siguiente:
La sobreyección ${\displaystyle \pi }$ es asimilable a la proyección ortogonal sobre el plano ${\displaystyle (Oyz)}$ (mediante la identificación de una recta dirigida por ${\displaystyle \mathbf {i} }$ a su intersección con el plano anterior). En ella interviene la rotación ${\displaystyle r}$ directa de 90 grados en el plano ${\displaystyle (Oyz)}$ perpendicular al vector ${\displaystyle \mathbf {i} }$.
De hecho ${\displaystyle {\overline {f}}}$ es asimilable a ${\displaystyle r}$ (gracias a la identificación anterior).
Esto no es de extrañar porque el producto vectorial y las rotaciones en el espacio están íntimamente ligadas (ver cuaterniones y rotación en el espacio).

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• Datos: Q5689315