En teoría de categorías, una rama abstracta de las matemáticas, la categoría de los espacios topológicos, usualmente denotada como T o p {\displaystyle {\mathsf {Top}}} , es una forma de organizar y estudiar todos los espacios topológicos y las relaciones continuas entre ellos. Piense en un espacio topológico como un conjunto de puntos donde se ha definido una noción de "cercanía" (sin necesidad de una distancia, como en los espacios métricos). Las relaciones entre estos espacios, que preservan esta noción de cercanía, son las funciones continuas.
Más formalmente, T o p {\displaystyle {\mathsf {Top}}} es la categoría que tiene como objetos a los espacios topológicos y como morfismos a las funciones continuas entre ellos. La composición de dos funciones continuas es continua, y la función identidad (la que deja cada punto en su lugar) es continua, por lo que se satisfacen los axiomas de categoría. En términos sencillos, esto significa que podemos "pegar" funciones continuas, y siempre obtendremos otra función continua.
Los monomorfismos en T o p {\displaystyle {\mathsf {Top}}} son las funciones continuas inyectivas (es decir, aquellas donde puntos diferentes del espacio de partida van a parar a puntos diferentes en el espacio de llegada). Los epimorfismos son las funciones continuas sobreyectivas (aquellas donde todos los puntos del espacio de llegada son "alcanzados" por algún punto del espacio de partida). Los isomorfismos son los homeomorfismos (funciones continuas que tienen una inversa continua, esencialmente "deformaciones" que no rompen ni pegan el espacio). El conjunto vacío (considerado como un espacio topológico) es el objeto inicial de T o p {\displaystyle {\mathsf {Top}}} (es como el "espacio más pequeño posible"). Cualquier espacio topológico sobre un conjunto de un solo elemento (singletons, con la única topología posible) es un objeto terminal de T o p {\displaystyle {\mathsf {Top}}} (es como un espacio "básico" al cual cualquier otro espacio puede "mapearse").
Es importante destacar que algunos autores utilizan el nombre T o p {\displaystyle {\mathsf {Top}}} para referirse a la categoría con las variedades topológicas (espacios que localmente se "parecen" a un espacio euclidiano) como objetos y funciones continuas como morfismos. Este es un uso distinto del que se describe en este artículo, que considera "todos" los espacios topológicos.
La categoría T o p {\displaystyle {\mathsf {Top}}} tiene una rica estructura y varias propiedades importantes, que nos dicen cómo podemos construir y manipular espacios topológicos dentro de este marco: