Anillo de conjuntos

En matemática, específicamente en álgebra abstracta y teoría de anillos, una colección no vacía de conjuntos ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ es un anillo (de conjuntos) si es cerrada bajo las operaciones de intersección y diferencia simétrica.

Formalmente, para cualquier ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$, debe cumplirse

1. ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A\triangle B\in {\mathcal {R}}}$

donde ${\displaystyle \triangle }$ representa la diferencia simétrica ${\displaystyle A\Delta B=(A-B)\cup (B-A).}$

Un anillo de conjuntos forma un anillo (posiblemente sin unidad) bajo estas dos operaciones. La intersección se distribuye sobre la diferencia simétrica:

${\displaystyle A\cap (B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)}$

El conjunto vacío es el elemento identidad para ${\displaystyle \triangle }$, y la unión de todos los conjuntos, es el elemento identidad para ${\displaystyle \cap }$, creando un anillo unitario.

Dado cualquier conjunto X, el conjunto potencia de X forma un anillo de conjuntos discreto, mientras que la colección {∅,X} constituye un anillo de conjuntos no discreto. Cualquier campo de conjuntos, así como cualquier sigma-álgebra son también anillos de conjuntos.

Los anillos de conjuntos son retículos distributivos.

Referencias

• Ring of sets en PlanetMath.

• Datos: Q2064647