Achatado (geometría)

Los dos sólidos arquimedianos romos

Cubo romo o cuboctaedro romo

Dodecaedro romo o icosidodecaedro romo

Dos copias quirales del cubo romo, eliminando vértices alternados (rojos o verdes) de un cuboctaedro truncado

Un cubo romo se puede construir a partir de un rombicuboctaedro girando las 6 caras cuadradas azules hasta que las 12 caras cuadradas blancas se conviertan en pares de caras triangulares equiláteras

En geometría, el achatado es una operación que aplicada sobre un poliedro permite obtener a partir de él un poliedro romo. El término utilizado para denominar a esta operación en inglés (snub), tiene su origen en los nombres dados a dos sólidos arquimedianos (el cubo romo y el dodecaedro romo) por Johannes Kepler, quien los llamó cubus simus y dodecaedron simum.^[1]​ En general, los poliedros romos presentan dos formas con simetría quiral: con orientación horaria o antihoraria. Según los nombres de Kepler, un poliedro romo puede verse como una expansión de un poliedro regular mediante el procedimiento siguiente: separando las caras, girándolas alrededor de sus centros, agregando nuevos polígonos centrados en los vértices originales y agregando pares de triángulos que se ajustan entre las aristas originales.

Harold Scott MacDonald Coxeter generalizó la terminología, con una definición ligeramente diferente, para un conjunto más amplio de politopos uniformes.

Achatado de Conway

John Conway exploró los operadores de poliedros generalizados, definiendo lo que ahora se llama notación de poliedros de Conway, que se puede aplicar a poliedros y teselados. Conway llama a la operación de Coxeter un "semi-achatado".^[2]​

En esta notación, el achatado de Conway se define mediante los operadores dual y gyro, como s = dg, y es equivalente a la alternancia de un truncamiento de un ambo. La notación de Conway en sí misma evita la operación de (semi) alternancia de Coxeter, ya que solo se aplica a poliedros con caras de un número par de aristas.

Figuras regulares romas

Formas de achatado	Poliedros			Teselados euclídeos		Teselados hiperbólicos
Nombres	Tetraedro	Cubo u octaedro	Icosaedro o dodecaedro	Teselado cuadrado	Teselado hexagonal o teselado triangular	Teselado heptagonal o teselado triangular de orden-7
Imágenes
Forma roma Notación de Conway	sT	sC = sO	sI = sD	sQ	sH = sΔ	sΔ7
Imagen

En 4 dimensiones, Conway sugiere que el 24-celdas romo debería llamarse "24-celdas semirromo" porque, a diferencia de los poliedros achatados tridimensionales que son formas omnitruncadas alternadas, no es un 24-celdas omnitruncado alternado. En cambio, es en realidad un 24-celdas truncado alternado.^[3]​

Formas romas de Coxeter, regulares y casi regulares

Cubo romo, derivado del cubo o cuboctaedro

	Semilla	Rectificado r	Truncado t	Alternado h
Nombre	Cubo	Cuboctaedro Cubo rectificado	Cuboctaedro truncado Cubo cantitruncado	Cuboctaedro romo Cubo romo rectificado
Notación de Conway	C	CO rC	tCO trC o trO	htCO = sCO htrC = srC
Símbolo de Schläfli	{4,3}	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ o r{4,3}	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ o tr{4,3}	${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ htr{4,3} = sr{4,3}
Diagrama de Coxeter		o	o	o
Imagen

La terminología para el achatado de Harold Scott MacDonald Coxeter es ligeramente diferente, lo que significa alternado truncado, derivando cubo romo como "cuboctaedro achatado", y dodecaedro romo como "icosidodecaedro achatado". Esta definición se utiliza en la denominación de dos sólidos de Johnson: el biesfenoide romo y el antiprisma cuadrado romo, y de politopos de dimensiones superiores, como el 24-celdas romo de 4 dimensiones, con el símbolo de Schläfli extendido s{3,4,3} y el diagrama de Coxeter .

Un poliedro regular (o teselado), con el símbolo de Schläfli ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ y diagrama de Coxeter-Dynkin , tiene un truncamiento definido como ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ y , y tiene un achatamiento definido como un alternado truncado ${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p,q\end{Bmatrix}}}$ y . Esta construcción con un alternado requiere que q sea par.

Un poliedro cuasirregular, con el símbolo de Schläfli ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ o r{p,q}, y el diagrama de Coxeter o , tiene un truncamiento cuasiregular definido como ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ o tr{p ,q} y o , y tiene un snub cuasiregular definido como una rectificación truncada alternada ${\displaystyle ht{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}=s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$ o htr{p,q} = sr' '{p,q} y o .

Por ejemplo, el cubo romo de Kepler se deriva del cuboctaedro (un poliedro cuasirregular), con un símbolo de Schläfli ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ vertical y diagrama de Coxeter-Dynkin , por lo que se denomina más explícitamente cuboctaedro romo, expresado por un símbolo vertical de Schläfli ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ y diagrama de Coxeter . El cuboctaedro romo es el alternado del cuboctaedro truncado, ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$ y .

Los poliedros regulares con vértices de orden par también se pueden achatar como truncamientos alternados, como en el caso del octaedro romo, ya que ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$, , es el alternado del octaedro truncado, ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3,4\end{Bmatrix}}}$ y . El octaedro romo representa el icosaedro, un icosaedro regular con simetría piritoedral.

El tetratetraedro romo, como ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$ y , es el alternado de la forma de simetría tetraédrica truncada, ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$ y .

	Semilla	Truncado t	Alternado h
Nombre	Octaedro	Octaedro truncado	Octaedro romo
Notación de Conway	O	tO	htO o sO
Símbolo de Schläfli	{3,4}	t{3,4}	ht{3,4} = s{3,4}
Diagrama de Coxeter
Imagen

La operación de achatado de Coxeter también permite que los n-antiprismas se definan como ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$ o ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$, en función de los n-prismas ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2\\n\end{Bmatrix}}}$ o ${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2,2n\end{Bmatrix}}}$, mientras que ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2,n\end{Bmatrix}}}$ es un n-hosoedro regular, un poliedro degenerado, pero un mosaico válido en la esfera con caras en forma de dígonos o de lúnulas.

Hosoedro romo, {2,2p}

Imagen
Diagramas de Coxeter							... ...
Símbolos de Schläfli	s{2,4}	s{2,6}	s{2,8}	s{2,10}	s{2,12}	s{2,14}	s{2,16}...	s{2,∞}
	sr{2,2} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}}$	sr{2,3} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$	sr{2,4} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$	sr{2,5} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}}$	sr{2,6} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\6\end{Bmatrix}}}$	sr{2,7} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\7\end{Bmatrix}}}$	sr{2,8}... ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\8\end{Bmatrix}}}$...	sr{2,∞} ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\\infty \end{Bmatrix}}}$
Notación de Conway	A2 = T	A3 = O	A4	A5	A6	A7	A8...	A∞

El mismo proceso se aplica a las teselas romas:

Teselado triangular Δ	Teselado triangular truncado tΔ	Teselado triangular romo htΔ = sΔ
{3,6}	t{3,6}	ht{3,6} = s{3,6}

Ejemplos

Achatados basados en {p,4}

Espacio	Esférico		Euclídeo	Hiperbólico
Imagen
Diagrama de Coxeter								...
Símbolo de Schläfli	s{2,4}	s{3,4}	s{4,4}	s{5,4}	s{6,4}	s{7,4}	s{8,4}	...s{∞,4}

Achatados cuasirregulares basados en r{p,3}

Notación de Conway	Esférico				Euclídeo	Hiperbólico
Imagen
Diagrama de Coxeter								...
Símbolo de Schläfli	sr{2,3}	sr{3,3}	sr{4,3}	sr{5,3}	sr{6,3}	sr{7,3}	sr{8,3}	...sr{∞,3}
	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}6\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}7\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}8\\3\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}\infty \\3\end{Bmatrix}}}$
Notación de Conway	A3	sT	sC o sO	sD o sI	sΗ o sΔ

Achatados cuasirregulares basados en r{p,4}

Espacio	Esférico		Euclídeo	Hiperbólico
Imagen
Diagrama de Coxeter								...
Símbolo de Schläfli	sr{2,4}	sr{3,4}	sr{4,4}	sr{5,4}	sr{6,4}	sr{7,4}	sr{8,4}	...sr{∞,4}
	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}4\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}6\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}7\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}8\\4\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}\infty \\4\end{Bmatrix}}}$
Conway notation	A4	sC o sO	sQ

Poliedros romos no uniformes

Los poliedros no uniformes con todos los vértices de valencia uniformemente dispuestos se pueden achatar, incluidos algunos conjuntos infinitos; por ejemplo:

Bipirámides romas sdt{2,p} Bipirámide cuadrada roma Bipirámide hexagonal roma

Bipirámides romas rectificadas srdt{2,p} Antiprismas romos s{2,2p} Imagen ... Símbolos de Schläfli ss{2,4} ss{2,6} ss{2,8} ss{2,10}... ssr{2,2} ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\2\end{Bmatrix}}}$ ssr{2,3} ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\3\end{Bmatrix}}}$ ssr{2,4} ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\4\end{Bmatrix}}}$ ssr{2,5}... ${\displaystyle ss{\begin{Bmatrix}2\\5\end{Bmatrix}}}$

Poliedros estrellados romos uniformes de Coxeter

Los poliedros estrellados romos se construyen por su triángulo de Schwarz (p q r), con ángulos especularmente simétricos ordenados racionalmente, y todos los espejos activos y alternados.

Poliedros estrellados uniformes romos

s{3/2,3/2}	s{(3,3,5/2)}	sr{5,5/2}	s{(3,5,5/3)}	sr{5/2,3}
sr{5/3,5}	s{(5/2,5/3,3)}	sr{5/3,3}	s{(3/2,3/2,5/2)}	s{3/2,5/3}

Politopos y panales romos de dimensiones superiores de Coxeter

En general, un policoro regular con símbolo de Schläfli ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$ y diagrama de Coxeter-Dynkin tiene un achatado con símbolo de Schläfli ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p,q,r\end{Bmatrix}}}$ y .

Un policoro rectificado ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}}$ = r{p,q,r}, y tiene el achatado de símbolos ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}}$ = sr{p,q,r}, y .

Ejemplos

Proyección ortogonal de un 24-celdas romo

Solo hay un achatado convexo uniforme en 4 dimensiones, el 24-celdas romo. El icositetracoron normal tiene símbolo de Schläfli, ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$ y diagrama de Coxeter-Dynkin , y el 24-celdas romo está representado por ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3\end{Bmatrix}}}$, y el diagrama de Coxeter-Dynkin . También tiene construcciones de simetría inferior de índice 6 como ${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}}$ o s{3^1,1,1} y , y subsimetría de índice 3 como ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4\end{Bmatrix}}}$ o sr{3,3,4} y o .

El panal de 24-celdas romo relacionado se puede ver como ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3,4,3,3\end{Bmatrix}}}$ o s{3,4,3,3}, y , y la simetría inferior ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}3\\3,4,3\end{Bmatrix}}}$ o sr{3,3,4,3} y o , y la forma de simetría inferior como ${\displaystyle s\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\\3\end{array}}\right\}}$ o s{3^1,1,1,1} y .

Un panal euclídeo es un panal de losa hexagonal alternada, s{2,6,3} y o sr{2,3,6} y o sr{2,3^[3]} y .

Otro panal euclídeo (escaliforme) es un panal de losa cuadrada alternada, s{2,4,4} y o sr{2,4^1,1} y :

El único panal uniforme hiperbólico romo uniforme es el panal de losa hexagonal romo, como s{3,6,3} y , que también se puede construir como panal de teselado hexagonal alternado, h{6,3,3}, . También se construye como s{3^[3,3]} y .

Otro panal hiperbólico (escaliforme) es el panal octaédrico de orden-4 romo, s{3,4,4} y .

Véase también

• Poliedro romo

Referencias

1. Johannes Kepler, Harmonices Mundi, 1619
2. Conway, (2008) p.287 Coxeter's semi-snub operation
3. Conway, 2008, p.401 Gosset's Semi-snub Polyoctahedron

Bibliografía

• Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954). «Uniform polyhedra». Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society) 246 (916): 401-450. Bibcode:1954RSPTA.246..401C. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. S2CID 202575183. doi:10.1098/rsta.1954.0003. 
• Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp. 154–156 8.6 Partial truncation, or alternation)
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1], Googlebooks [2]
  • (Paper 17) Coxeter, The Evolution of Coxeter–Dynkin diagrams, [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
  • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Chapter 3: Wythoff's Construction for Uniform Polytopes)
• Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  • N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5
• Weisstein, Eric W. «Snubification». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Richard Klitzing, Snubs, alternated facetings, and Stott–Coxeter–Dynkin diagrams, Symmetry: Culture and Science, Vol. 21, No.4, 329–344, (2010) [3]

• Datos: Q18378865