Kampoteorio (aŭ teorio de kampoj) estas branĉo de matematiko, kiu studas ecojn de kampoj. Kampo estas matematika strukturo, en kiu ekzistas adicio, subtraho, multipliko kaj divido kun la kutimaj reguloj pri asocieco, komuteco kaj distribueco.
Historio
La koncepton kampo implice uzis Niels Henrik Abel kaj Évariste Galois (ebla plene esperantigita formo: Galezo, aŭ Galojo[1]) en sia laboro sur la solvebleco de ekvacioj.
En 1871, Richard Dedekind nomis "kampo" aron de reelaj aŭ kompleksaj nombroj, kiu estas fermita sub la kvar aritmetikaj operacioj.
En 1881, Leopold Kronecker difinis tion, kion li nomis "domajno de racieco", kiu estas kampo de polinomoj en modernaj terminoj.
En 1893, Heinrich Weber donis la unuan ekzaktan abstraktan difinon de la nocio kampo.
Galezo, kiu eble ne havis la terminon "kampo" en sia menso, estas honorita por esti la unua matematikisto liginta grupo-teorion kaj kampo-teorion. Galeza teorio estas nomata honore al li. Tamen la interrilaton inter grupoj kaj kampoj en detaloj ellaboris Emil Artin en 1928-1942.
Enkonduko
Kampoj estas gravaj studobjektoj en algebro, ĉar ili estas utila ĝeneraligo de multaj nombrosistemoj, ekzemple la raciaj nombroj, reelaj nombroj kaj kompleksaj nombroj. En kampoj validas la kutimaj reguloj pri asocieco, komuteco kaj distribueco. Kampoj gravas ankaŭ por diversaj aliaj branĉoj de matematiko; vidu la ekzemplojn ĉi-sube.
La koncepto de kampo estis unuafoje (implicite) uzita por pruvi, ke ne ekzistas ĝenerala formulo, kiu per radikofunkcioj esprimas la solvojn de polinomo kun raciaj koeficientoj de grado 5 aŭ pli alta.
Pluigaĵo de kampo
Pluigaĵo de kampo k estas kampo K, kiu entenas k kiel subkampon. Oni distingas inter pluigaĵoj kun diversaj ecoj. Ekzemple, pluigaĵo K de kampo k estas nomata algebra, se ĉiu elemento de K estas radiko de iu polinomo kun koeficientoj el k. Alikaze, ĝi estas nomata transcenda.
La celo de Galeza teorio estas studi algebrajn pluigaĵojn de kampo.
Tegaĵo de kampo
Por donita kampo k oni povas enkonduki diversajn specojn de tegaĵoj de k. Ekzemple la algebra tegaĵo, la apartigebla tegaĵo, la cikla tegaĵo ktp. La ideo estas ĉiam la sama: Se P estas iu eco de kampoj, tiam P-tegaĵo de k estas kampo K kiu entenas k, havas la econ P, kaj estas minimuma en la senco ke neniu strikta subkampo de K kiu entenas k havas la econ P.
Ekzemple, se P(K) estas le eco "ĉiu nekonstanta polinomo f en K[t] havas solvon en K" tiam P-tegaĵo de k estas la algebra tegaĵo de k.
Ĝenerale, se P-tegaĵoj ekzistas por iu eco P kaj kampo k, ili ĉiuj estas izomorfiaj. Tamen, ĝenerale ne estas preferinda izomorfio inter du tegaĵoj.
Aplikoj de kampo-teorio
La koncepto kampo estas esenca, ekzemple, por difini vektorojn kaj matricojn, t.e. du gravajn strukturojn en lineara algebro.
Finiaj kampoj estas uzataj en nombroteorio, Galeza teorio kaj kodigoteorio, kaj denove algebra pluigaĵo estas grava ilo.
Duumaj kampoj, t.e. kampoj kun karakteristiko 2, estas utilaj en komputoscienco. Ili estas kutime studataj kiel escepta okazo en teorio de finiaj kampoj, ĉar en ili adicio kaj subtraho estas la sama operacio.
Utilaj teoremoj
Vidu ankaŭ
Referencoj
