Diferenciala ekvacio

En matematiko, diferenciala ekvacio estas ekvacio, en kiu derivaĵoj de nekonataj funkcioj aperas kiel variabloj. Multaj el la fundamentaj leĝoj de fiziko, ĥemio, biologio kaj ekonomiko povas esti formulitaj kiel diferencialaj ekvacioj. Diversaj sciencaj kampoj ofte havas identajn diferencialajn ekvaciojn. En ĉi tiaj okazoj, la matematika teorio ligas sufiĉe diversajn sciencajn kampojn.

La ordo de diferenciala ekvacio estas ordo de la plej alta derivaĵo kiun ĝi enhavas. Ekzemple, diferenciala ekvacio de la 1-a ordo enhavas nur unuajn derivaĵojn.

En matematikaj aplikoj ofte aperas problemoj, en kiuj la dependeco de unu parametro de alia estas nekonata, sed eblas skribi esprimon por la rapideco de ŝanĝo de unu parametro rilate al alia (derivaĵo). Ĉi-kaze la problemo reduktiĝas al trovado de funkcio per ĝia derivaĵo rilata al iuj aliaj esprimoj.

Specoj de diferencialaj ekvacioj

• Ordinara diferenciala ekvacio ODE nur enhavas funkciojn de unu nedependa variablo, kaj derivaĵoj de ĉi tiu variablo.
• Diferenciala ekvacio en partaj derivaĵoj PDE enhavas funkciojn de multaj nedependaj variabloj kaj iliaj partaj derivaĵoj.
• Malfrua diferenciala ekvacio DDE enhavas funkciojn de unu nedependa variablo, kaj derivaĵoj de la funkcioj estas en la ekvacio kune kun valoroj de la funkcioj rezultantaj de la aliaj (antaŭaj) valoroj de la nedependa variablo. (la termino "malfrua" estas pro tio ke la nedependa variablo ofte estas tempo).
• Stokasta diferenciala ekvacio SDE estas diferenciala ekvacio en kiu unu aŭ kelkaj variabloj estas stokastikaj, tial la rezultanta solvaĵo estas mem stokastiko.

Diferencialaj ekvacioj de ĉiu el ĉi tiuj kategorioj estas disdividita en linearajn kaj nelinearajn. Diferenciala ekvacio estas lineara se ĝi enhavas la nekonatan funkcion kaj ĝiajn derivaĵojn nur en la unua potenco; alie la diferenciala ekvacio estas nelineara. Ekzemplo (ĉi tie u' (t) estas derivaĵo de u(t) je la nedependa variablo t ): ekvacio

u' (t) = u(t)

estas lineara; tie la solvo estas ${\displaystyle u(t)=k\cdot e^{t}}$, kun k reela nombro.

La ekvacioj

u' (t)= (u (t))²

(u' (t))² = u (t)

estas nelinearaj.

Linearaj ekvacioj ofte aperas kiel proksimumaĵoj al nelinearaj ekvacioj, kaj ĉi tiuj proksimumaĵoj estas nur validaj je limigitaj kondiĉoj.

Ordinara diferenciala ekvacio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Ordinara diferenciala ekvacio.

En matematiko, ordinara diferenciala ekvacio (mallonge ODE) estas rilato, kiu enhavas funkciojn de nur unu nedependa variablo, kaj unu aŭ kelkajn el ĝiaj derivaĵoj kun respekto al la variablo.

Simpla ekzemplo estas neŭtona dua leĝo de moviĝo, kiu povas esti skribita kiel la diferenciala ekvacio

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=F(x(t),t)}$

por la moviĝo de partiklo de konstanta maso m. Ĝenerale, la forto F dependas de la pozicio de la partiklo x(t) je tempo t kaj de la tempo t senpere, kaj tial la nekonata funkcio x(t) aperas en ambaŭ flankoj de la diferenciala ekvacio, kiel estas indikite en la skribmaniero F(x(t), t).

Ordinaraj diferencialaj ekvacioj malsamas de diferencialaj ekvacioj en partaj derivaĵoj en tio, ke la lastaj enhavas plurajn nedependajn variablojn kaj partajn derivaĵojn je la kelkaj nedependaj variabloj.

Se la ekvacio estas lineara, ĝi povas esti solvita per analitikaj manieroj. Tamen multaj interesaj diferencialaj ekvacioj estas ne-linearaj kaj, kun kelkaj esceptoj, ili ne povas esti solvitaj akurate. Proksimumaj solvaĵoj estas ricevataj per komputilaj manieroj de solvado (vidu en cifereca solvado de diferencialaj ekvacioj).

Ordinaraj diferencialaj ekvacioj aperas en multaj malsamaj ĉirkaŭtekstoj en geometrio, fiziko, astronomio ktp.

Estu y(x) nekonata funkcio

${\displaystyle y:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

kie y⁽ⁿ⁾ estas la n-a derivaĵo de y je x. Tiam ekvacio de formo

F(x, y, y', y'', ..., y^(n-1), y⁽ⁿ⁾) = 0

estas nomata kiel ordinara diferenciala ekvacio (ODE) de ordo n. Por vektoraj valoraj funkcioj,

${\displaystyle y:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{m}}$

estas nomata kiel sistemo de ordinaraj diferencialaj ekvacioj de dimensio m.

Se diferenciala ekvacio de ordo n havas formon

F(x, y, y', y'', ..., y^(n-1), y⁽ⁿ⁾) = 0

ĝi estas nomata kiel implica diferenciala ekvacio. La formo

F(x, y, y', y'', ..., y^(n-1)) = y⁽ⁿ⁾

estas nomata kiel eksplicita diferenciala ekvacio.

Diferenciala ekvacio ne dependanta sur x estas nomata kiel aŭtonoma.

Diferenciala ekvacio estas lineara se F povas esti skribita kiel lineara kombinaĵo de la derivaĵoj de y

${\displaystyle y^{(n)}=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}+r(x)}$

kie a_i(x) kaj r(x) estas kontinuaj funkcioj de x. La funkcio r(x) estas nomata kiel la fonta flanko; se r(x)=0 tiam la lineara diferenciala ekvacio estas nomata kiel homogena, alie ĝi estas nomata kiel nehomogena (estas ankaŭ la alia signifo por la vorto "homogena").

Parta diferenciala ekvacio

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Parta diferenciala ekvacio.

En matematiko, parta diferenciala ekvacio (mallongigita kiel PDE) estas rilato inter matematika funkcio u de pluraj nedependaj variabloj x, y, z, t, ... kaj partaj derivaĵoj de u rilate al ĉi tiuj variabloj. La ekvacioj en partaj derivaĵojn uzatas en la matematika formulado de la fizikaj procezoj kaj aliaj sciencoj, kiuj kutime koncernas la spacon kaj la tempon. Tipaj problemoj inkludas la disvastiĝon de sono aŭ varmo, la elektrostatikon, la elektrodinamikon, la fluidodinamikon, la elastecon, la kvantuman mekanikon kaj multaj aliaj. Ili estas ankaŭ konataj kiel diferencialaj ekvacioj en partaj derivaĵoj (EPD). Studis ilin d'Alembert kaj Joseph Fourier, matematikistoj de la napoleona epoko.

Parta diferenciala ekvacio (PDE) estas funkcio ${\displaystyle u(x_{1},...x_{n})\,}$ skribata laŭ sekvanta formo:

${\displaystyle F(x_{1},\cdots x_{n},u,{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}u,\cdots {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}u,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{1}}}u,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}u,\cdots )=0\,}$

${\displaystyle F\,}$ estas lineara funkcio de ${\displaystyle u\,}$ kaj siaj derivaĵoj, tio estas:

${\displaystyle F(u+w)=F(u)+F(w)\,}$

kaj

${\displaystyle F(ku)=k\cdot F(u)\,.}$

Se ${\displaystyle F\,}$ estas lineara funkcio de ${\displaystyle u\,}$ kaj ankaŭ ĝiaj derivaĵoj, tial la PDE estas lineara. Komunaj ekzemploj de PDE estas la varma ekvacio, la onda ekvacio kaj la laplaca ekvacio.

Parta diferenciala ekvacio povas esti tre simpla:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=0\,,}$

kie u estas funkcio de x kaj y. Ĉi tiu rialto implicas, ke la valoroj de u(x, y) estas tute nedependaj de x. Tial la ĝenerala solvaĵo de ĉi tiu diferenciala ekvacio estas:

${\displaystyle u(x,y)=f(y),\,}$

kie f estas ajna funkcio de y.

La ordinara diferenciala ekvacio (simila al la PDE, sed kun funkcio de unu variablo) analogie estas:

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=0,\,}$

kiu havas la sekvan solvon

${\displaystyle u(x)=c,\,}$

kie c estas ajna valoro konstanto (nedependa de x).

Tiuj du ekzemploj ilustras, ke la ĝeneralaj solvaĵoj de ordinaraj diferencialaj ekvacioj (ODE) implicas ajnajn konstantojn, sed la solvoj de partaj diferencialaj ekvacioj (PDE) implicas ajnajn funkciojn. Solvaĵo de parta diferenciala ekvacio estas ĝenerale ne unika; alimaniere oni devos havigi pliajn limkondiĉojn, por difini la solvon unike. Ekzemple, en la simpla kazo supre, la funkcio ${\displaystyle \scriptstyle f(y)\,}$ povas esti determinita, se ${\displaystyle \scriptstyle u\,}$ estas specifita laŭ la linio ${\displaystyle \scriptstyle {x=0}\,}$.

Sistemoj de diferencialaj ekvacioj

Sistemo de diferencialaj ekvacioj estas aro de diferencialaj ekvacioj konsiderataj kune, kaj kvanto de la nekonataj funkcioj normale egalas al kvanto de la ekvacioj.

La ordo de sistemo de diferencialaj ekvacioj estas sumo de ordoj de la apartaj ekvacioj.

Ĉiu diferenciala ekvacio aŭ sistemo de diferencialaj ekvacioj de ordo n povas esti reformigita en sistemon de n diferencialaj ekvacioj, ĉiu el ili de ordo 1. Por ĉi tio necesas enkonduki aldonajn funkciojn, egalajn al derivaĵoj de la jam ekzistantaj nekonataj funkcioj. Ekzemplo (ĉi tie u' (t) estas derivaĵo de u(t) je la nedependa variablo t ):

Estu diferenciala ekvacio kun nekonata funkcio u(t) de la 3-a ordo

u' ' ' (t) + u' ' (t) + u(t) = 1 + t

Estu novaj nekonataj funkcioj:

v(t) = u' (t)

w(t) = v' (t)

kaj la difinoj supre fakte estas diferencialaj ekvacioj, ĉiu de la 1-a ordo. Tiam la ekvacio povas esti reskribita en formo

w' (t) + v' (t) + u(t) = 1 + t

kiu estas ekvacio de la 1-a ordo. Kaj kune kun la supraj difinoj por v(t) kaj w(t) ĝi formas sistemon el 3 ekvacioj de la 1-a ordo.

Linearaj homogenaj diferencialaj ekvacioj

Lineara homogena diferenciala ekvacio estas ekvacio, en kiu aŭ la nekonata funkcio aŭ ĝuste unu el ĝiaj derivaĵoj estas en ĉiu adiciaĵo en la ambaŭ flankoj. Ekzemple la ekvacio

u' (t) = u(t)

estas lineara kaj homogena, ĉar ĝia konstanta termo nulas.

La ekvacio

u' (t) = u(t) + 1

estas lineara sed ne homogena, pro la adiciaĵo 1.

Se estas kelkaj solvaĵoj de la lineara homogena ekvacio, do ĉiu lineara kombinaĵo de la solvaĵoj ankaŭ estas la solvaĵo. Ĝenerala solvaĵo de lineara homogena ekvacio estas lineara kombinaĵo kun ĉiuj koeficientoj de kelkaj bazaj solvaĵoj. La solvaĵoj formas vektorspacon de iu dimensio, la dimensio povas esti kaj finia kaj malfinia.

Normale lineara homogena ordinara diferenciala ekvacio havas dimension de la spaco de solvaĵoj egalan al ordo de la ekvacio. Sistemo de ĉi tiaj ekvacioj havas dimension de la spaco de solvaĵoj egalan al sumo de ordoj de la ekvacioj.

Normale lineara homogena diferenciala ekvacio en partaj derivaĵoj kaj lineara homogena malfrua diferenciala ekvacio havas malfinian dimension de la spaco de solvaĵoj.

Programaro

Ekzistas programoj kiuj povas solvi diferencialajn ekvaciojn:

• ExpressionsInBar
• Maple:^[1] dsolve
• SageMath^[2]
• Xcas:^[3] desolve(y'=k*y,y)

Famaj diferencialaj ekvacioj

• Ekvacioj de Maxwell en elektromagnetismo
• Ejnŝtejna kampa ekvacio en fizika relativeco
• Ekvacio de Schrödinger en kvantummeĥaniko
• Varma ekvacio en varmodinamiko
• Onda ekvacio
• Geodezia ekvacio
• Laplaca ekvacio, kiu difinas harmoniajn funkciojn
• Koŝio-rimanaj ekvacioj en kompleksa analitiko
• Ekvacio de Poisson
• Ekvacioj de Navier-Stokes en fluidaĵ-dinamiko
• Ekvacio de Lotka-Volterra en loĝantara dinamiko
• Ekvacio de Black-Scholes en financoj

Vidu ankaŭ

• Lineara sistemo (aŭtomata regado)
• Teoremo de Picard–Lindelöf pri ekzisto kaj unikeco de solvaĵoj
• Otton Nikodym

Notoj

1. [1]
2. [2]
3. [3]