Πίνακας μεταθέσεων

Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στη θεωρία πινάκων, ένας πίνακας μεταθέσεων είναι ένας τετραγωνικός δυαδικός πίνακας που έχει ακριβώς μία εγγραφή 1 σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη με όλες τις άλλες εγγραφές 0.^[1](p26) Ένας πίνακας μεταθέσεων n × n μπορεί να αναπαραστήσει μια μετάθεση n στοιχείων. Ο προπολλαπλασιασμός ενός πίνακα n-γραμμών M με έναν πίνακα μεταθέσεων P, σχηματίζοντας τον PM, έχει ως αποτέλεσμα τη μεταστοιχείωση των γραμμών του M, ενώ ο μεταπολλαπλασιασμός ενός πίνακα n-στηλών M, σχηματίζοντας τον MP, μεταστοιχειώνει τις στήλες του M.

Κάθε πίνακας μεταθέσεων P είναι ορθογώνιος, με τον αντίστροφό του να ισούται με τον αντιμεταθέτη του:${\displaystyle P^{-1}=P^{\mathsf {T}}}$.^[1](p26) Πράγματι, οι πίνακες μεταθέσεων μπορούν να χαρακτηριστούν ως οι ορθογώνιοι πίνακες των οποίων οι καταχωρήσεις είναι όλες μη αρνητικές^[2].

Οι δύο αντιστοιχίες μεταθέσεων/πίνακα

Υπάρχουν δύο φυσικές αντιστοιχίες ένα προς ένα μεταξύ μεταθέσεων και πινάκων μεταθέσεων, εκ των οποίων η μία λειτουργεί κατά μήκος των γραμμών του πίνακα και η άλλη κατά μήκος των στηλών του. Ακολουθεί ένα παράδειγμα, ξεκινώντας με μια αντιμετάθεση π σε μορφή δύο γραμμών πάνω αριστερά:

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi \colon {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix}}&\longleftrightarrow &R_{\pi }\colon {\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}\\[5pt]{\Big \updownarrow }&&{\Big \updownarrow }\\[5pt]C_{\pi }\colon {\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}&\longleftrightarrow &\pi ^{-1}\colon {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&2&1&3\end{pmatrix}}\end{matrix}}}$

Η αντιστοιχία με βάση τη γραμμή παίρνει την αντιμετάθεση π στον πίνακα ${\displaystyle R_{\pi }}$ στην πάνω δεξιά πλευρά. Η πρώτη γραμμή του ${\displaystyle R_{\pi }}$ έχει το 1 στην τρίτη στήλη επειδή ${\displaystyle \pi (1)=3}$. Γενικότερα, έχουμε ${\displaystyle R_{\pi }=(r_{ij})}$ όπου ${\displaystyle r_{ij}=1}$ όταν ${\displaystyle j=\pi (i)}$ και ${\displaystyle r_{ij}=0}$ διαφορετικά.

Η αντιστοιχία με βάση τις στήλες οδηγεί π στον πίνακα ${\displaystyle C_{\pi }}$ κάτω αριστερά. Η πρώτη στήλη του ${\displaystyle C_{\pi }}$ έχει το 1 στην τρίτη γραμμή επειδή ${\displaystyle \pi (1)=3}$. Γενικότερα, έχουμε ${\displaystyle C_{\pi }=(c_{ij})}$ όπου ${\displaystyle c_{ij}}$ είναι 1 όταν ${\displaystyle i=\pi (j)}$ και 0 αλλιώς. Δεδομένου ότι οι δύο συνταγές διαφέρουν μόνο με την αντικατάσταση του i με το j, ο πίνακας ${\displaystyle C_{\pi }}$ είναι η μεταφορά του ${\displaystyle R_{\pi }}$ και, δεδομένου ότι ο ${\displaystyle R_{\pi }}$ είναι ένας πίνακας μετατροπής, έχουμε ${\displaystyle C_{\pi }=R_{\pi }^{\mathsf {T}}=R_{\pi }^{-1}}$. Ανιχνεύοντας τις άλλες δύο πλευρές του μεγάλου τετραγώνου, έχουμε ${\displaystyle R_{\pi ^{-1}}=C_{\pi }=R_{\pi }^{-1}}$ και ${\displaystyle C_{\pi ^{-1}}=R_{\pi }}$.^[3]

Οι πίνακες μεταβολής μεταθέτουν γραμμές ή στήλες

Ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα M είτε με ${\displaystyle R_{\pi }}$ είτε με ${\displaystyle C_{\pi }}$ είτε στα αριστερά είτε στα δεξιά θα μεταβάλει είτε τις γραμμές είτε τις στήλες του M κατά π ή π⁻¹. Οι λεπτομέρειες είναι λίγο περίπλοκες.

Αρχικά, όταν μεταβάλλουμε τις καταχωρήσεις ενός διανύσματος ${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$ με κάποια αντιμετάθεση π, μετακινούμε την ${\displaystyle i^{\text{th}}}$ καταχώρηση ${\displaystyle v_{i}}$ του διανύσματος εισόδου στη θέση ${\displaystyle \pi (i)^{\text{th}}}$ του διανύσματος εξόδου. Ποια είσοδος καταλήγει τότε, ας πούμε, στην πρώτη σχισμή της εξόδου; Απάντηση: Η είσοδος που εμφανίζεται στην είσοδο του πίνακα, η οποία είναι η τελευταία που θα εισέλθει στο σύστημα: Η είσοδος ${\displaystyle v_{j}}$ για την οποία ισχύει ${\displaystyle \pi (j)=1}$, και συνεπώς ${\displaystyle j=\pi ^{-1}(1)}$. Επιχειρηματολογώντας με παρόμοιο τρόπο για κάθε μία από τις υποδοχές, βρίσκουμε ότι το διάνυσμα εξόδου είναι

${\displaystyle {\big (}v_{\pi ^{-1}(1)},v_{\pi ^{-1}(2)},\ldots ,v_{\pi ^{-1}(n)}{\big )},}$

παρόλο που κάνουμε αντιμετάθεση κατά ${\displaystyle \pi }$ και όχι κατά ${\displaystyle \pi ^{-1}}$. Έτσι, για να αντιμεταθέσουμε τις εγγραφές κατά ${\displaystyle \pi }$, πρέπει να αντιμεταθέσουμε τους δείκτες κατά ${\displaystyle \pi ^{-1}}$.^[1](p25) (Η αντιμετάθεση των καταχωρήσεων κατά ${\displaystyle \pi }$ ονομάζεται μερικές φορές λήψη της άποψης του άλλοθι, ενώ η αντιμετάθεση των δεικτών κατά ${\displaystyle \pi }$ θα έπαιρνε την alias άποψη.^[4])

Τώρα, ας υποθέσουμε ότι προ-πολλαπλασιάζουμε κάποιον πίνακα n σειρών ${\displaystyle M=(m_{i,j})}$ με τον πίνακα μεταθέσεων ${\displaystyle C_{\pi }}$. Σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό πινάκων, η καταχώρηση ${\displaystyle (i,j)^{\text{th}}}$ στο γινόμενο ${\displaystyle C_{\pi }M}$ είναι

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}c_{i,k}m_{k,j},}$

Οι άλλες δύο επιλογές είναι ο προ-πολλαπλασιασμός με ${\displaystyle R_{\pi }}$ ή ο μετα-πολλαπλασιασμός με ${\displaystyle C_{\pi }}$, και πολλαπλασιάζουν τις γραμμές ή τις στήλες αντίστοιχα με π^-1, αντί με π.

όπου ${\displaystyle c_{i,k}}$ είναι 0 εκτός από την περίπτωση που ${\displaystyle i=\pi (k)}$, οπότε είναι 1. Έτσι, ο μόνος όρος στο άθροισμα που επιβιώνει είναι ο όρος στον οποίο ${\displaystyle k=\pi ^{-1}(i)}$, και το άθροισμα ανάγεται σε ${\displaystyle m_{\pi ^{-1}(i),j}}$. Εφόσον έχουμε μεταθέσει τον δείκτη των γραμμών κατά ${\displaystyle \pi ^{-1}}$, έχουμε μεταθέσει τις ίδιες τις γραμμές του M κατά π.^[1](p25)} Ένα παρόμοιο επιχείρημα δείχνει ότι ο μεταπολλαπλασιασμός ενός n πίνακα M με ${\displaystyle R_{\pi }}$ μετατρέπει τις στήλες του κατά π.

Η μετάθεση είναι επίσης το αντίστροφο

Ένα σχετικό επιχείρημα αποδεικνύει ότι, όπως ισχυριστήκαμε παραπάνω, η μεταφορά οποιουδήποτε πίνακα μεταθέσεων P ενεργεί επίσης ως το αντίστροφό του, το οποίο συνεπάγεται ότι ο P είναι αντιστρέψιμος. (Ο Αρτίν αφήνει αυτή την απόδειξη ως άσκηση,^[1](p26) την οποία εδώ επιλύουμε). Αν ${\displaystyle P=(p_{i,j})}$, τότε η ${\displaystyle (i,j)^{\text{th}}}$ είσοδος της αντιμετάθεσής του ${\displaystyle P^{\mathsf {T}}}$ είναι ${\displaystyle p_{j,i}}$. Η ${\displaystyle (i,j)^{\text{th}}}$ είσοδος του γινομένου ${\displaystyle PP^{\mathsf {T}}}$ είναι τότε

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p_{i,k}p_{j,k}.}$

Όποτε ${\displaystyle i\neq j}$, ο όρος ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ σε αυτό το άθροισμα είναι το γινόμενο δύο διαφορετικών καταχωρήσεων στη στήλη ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ του P, οπότε όλοι οι όροι είναι 0 και το άθροισμα είναι 0. Όταν ${\displaystyle i=j}$, αθροίζουμε τα τετράγωνα των καταχωρήσεων στη ${\displaystyle i^{\text{th}}}$ γραμμή του P, οπότε το άθροισμα είναι 1. Το γινόμενο ${\displaystyle PP^{\mathsf {T}}}$ είναι επομένως ο Ταυτοτικός πίνακας. Ένα συμμετρικό επιχείρημα δείχνει το ίδιο για τον ${\displaystyle P^{\mathsf {T}}P}$, που σημαίνει ότι ο P είναι αντιστρέψιμος με ${\displaystyle P^{-1}=P^{\mathsf {T}}}$.

Πολλαπλασιασμός πινάκων μεταθέσεων

Δεδομένων δύο μεταθέσεων των n στοιχείων σ και τ, το γινόμενο των αντίστοιχων πινάκων μεταθέσεων με βάση τις στήλες C_σ και C_τ δίνεται,^[1](p25) όπως είναι αναμενόμενο, από τη σχέση

${\displaystyle C_{\sigma }C_{\tau }=C_{\sigma \,\circ \,\tau },}$

όπου η σύνθετη μετάθεση ${\displaystyle \sigma \circ \tau }$ εφαρμόζει πρώτα τ και στη συνέχεια σ, δουλεύοντας από τα δεξιά προς τα αριστερά:

${\displaystyle (\sigma \circ \tau )(k)=\sigma \left(\tau (k)\right).}$

Αυτό προκύπτει επειδή ο προπολλαπλασιασμός κάποιου πίνακα με τον C_τ και στη συνέχεια ο προπολλαπλασιασμός του προκύπτοντος γινομένου με τον C_σ δίνει το ίδιο αποτέλεσμα με τον προπολλαπλασιασμό μόνο μία φορά με το συνδυασμένο ${\displaystyle C_{\sigma \,\circ \,\tau }}$.

Για τους πίνακες με βάση τις γραμμές, υπάρχει μια ανατροπή: Το γινόμενο των R_σ και R_τ δίνεται από τη σχέση

${\displaystyle R_{\sigma }R_{\tau }=R_{\tau \,\circ \,\sigma },}$

με το 𝜎 να εφαρμόζεται πριν από το 𝜏 στη στη σύνθετη μετάθεση. Αυτό συμβαίνει επειδή πρέπει να κάνουμε μεταπολλαπλασιασμό για να αποφύγουμε αντιστροφές σύμφωνα με την επιλογή με βάση τη σειρά, οπότε θα κάναμε μεταπολλαπλασιασμό πρώτα με το R_σ και μετά με το R_τ.

Μερικοί άνθρωποι, όταν εφαρμόζουν μια συνάρτηση σε ένα όρισμα, γράφουν τη συνάρτηση μετά το όρισμα (Αντίστροφη πολωνική σημειογραφία), αντί για πριν από αυτό. Όταν κάνουν γραμμική άλγεβρα, εργάζονται με γραμμικούς χώρους διανυσμάτων γραμμής και εφαρμόζουν έναν γραμμικό χάρτη σε ένα όρισμα χρησιμοποιώντας τον πίνακα του χάρτη για να πολλαπλασιάσουν μετά το διάνυσμα γραμμής του επιχειρήματος. Συχνά χρησιμοποιούν έναν τελεστή σύνθεσης από αριστερά προς τα δεξιά, τον οποίο εδώ συμβολίζουμε χρησιμοποιώντας μια άνω τελεία- έτσι η σύνθεση ${\displaystyle \sigma \,;\,\tau }$ ορίζεται είτε ως εξής

${\displaystyle (\sigma \,;\,\tau )(k)=\tau \left(\sigma (k)\right),}$

ή, πιο εύστοχα, με

${\displaystyle (k)(\sigma \,;\,\tau )=\left((k)\sigma \right)\tau ,}$

με το σ να εφαρμόζεται πρώτα. Αυτός ο συμβολισμός μας δίνει έναν απλούστερο κανόνα για τον πολλαπλασιασμό πινάκων μετατροπής με βάση τις γραμμές:

${\displaystyle R_{\sigma }R_{\tau }=R_{\sigma \,;\,\tau }.}$

Ομάδα πίνακα

Όταν το π είναι η μετάθεση ταυτότητας, η οποία έχει ${\displaystyle \pi (i)=i}$ για όλα τα i, τόσο ο C_π όσο και ο R_πείναι ο Ταυτοτικός πίνακας.

Υπάρχουν n! πίνακες μεταθέσεων, αφού υπάρχουν n! μεταθέσεις και ο χάρτης ${\displaystyle C\colon \pi \mapsto C_{\pi }}$ είναι μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ μεταθέσεων και πινάκων μεταθέσεων. (Ο χάρτης ${\displaystyle R}$ είναι μια άλλη τέτοια αντιστοιχία.) Σύμφωνα με τους παραπάνω τύπους, αυτοί οι n × n πίνακες μεταθέσεων σχηματίζουν μια ομάδα τάξης n! υπό πολλαπλασιασμό πινάκων, με τον πίνακα ταυτότητας ως στοιχείο ταυτότητας, μια ομάδα που συμβολίζουμε ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$. Η ομάδα ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$ είναι μια υποομάδα της γενικής γραμμικής ομάδας ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$ των αντιστρέψιμων n' × n πινάκων πραγματικών αριθμών. Πράγματι, για οποιοδήποτε σώμα F, η ομάδα ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$ είναι επίσης μια υποομάδα της ομάδας ${\displaystyle GL_{n}(F)}$, όπου οι καταχωρήσεις του πίνακα ανήκουν στο F. (Κάθε σώμα περιέχει 0 και 1 με ${\displaystyle 0+0=0,}$ ${\displaystyle 0+1=1,}$ ${\displaystyle 0*0=0,}$ ${\displaystyle 0*1=0,}$ και ${\displaystyle 1*1=1;}$ και αυτό είναι το μόνο που χρειαζόμαστε για να πολλαπλασιάσουμε τους πίνακες μετάθεσης. Διαφορετικά πεδία διαφωνούν για το αν ${\displaystyle 1+1=0}$, αλλά αυτό το άθροισμα δεν προκύπτει).

Έστω ${\displaystyle S_{n}^{\leftarrow }}$ η συμμετρική ομάδα, ή ομάδα μεταθέσεων, στο {1,2,.... ,n} όπου η πράξη της ομάδας είναι η τυπική, από δεξιά προς τα αριστερά σύνθεση «${\displaystyle \circ }$»- και ας συμβολίσουμε με ${\displaystyle S_{n}^{\rightarrow }}$ την αντίθετη ομάδα, η οποία χρησιμοποιεί τη σύνθεση από αριστερά προς τα δεξιά «${\displaystyle \,;\,}$». Ο χάρτης ${\displaystyle C\colon S_{n}^{\leftarrow }\to GL_{n}(\mathbb {R} )}$ που παίρνει π στον πίνακα με βάση τις στήλες του ${\displaystyle C_{\pi }}$ είναι μια πιστή αναπαράσταση, και ομοίως για το χάρτη ${\displaystyle R\colon S_{n}^{\rightarrow }\to GL_{n}(\mathbb {R} )}$ που παίρνει π στο ${\displaystyle R_{\pi }}$.

Διπλά στοχαστικοί πίνακες

Κάθε πίνακας μετατροπής είναι διπλά στοχαστικός. Το σύνολο όλων των διπλά στοχαστικών πινάκων ονομάζεται πολύτοπο Μπίρκοφ και οι πίνακες μεταθέσεων παίζουν έναν ιδιαίτερο ρόλο σε αυτό το πολύτοπο. Το θεώρημα Μπίρκοφ- φον Νόιμαν λέει ότι κάθε διπλά στοχαστικός πραγματικός πίνακας είναι ένας κυρτός συνδυασμός πινάκων μεταθέσεων της ίδιας τάξης, με τους πίνακες μεταθέσεων να είναι ακριβώς τα ακραία σημεία (οι κορυφές) του πολυτόπου Μπίρκοφ. Το πολύτοπο Μπίρκοφ είναι επομένως το κυρτό περίβλημα των πινάκων μεταθέσεων^[5].

Γραμμικές-αλγεβρικές ιδιότητες

Ακριβώς όπως κάθε μετάθεση σχετίζεται με δύο πίνακες μεταθέσεων, κάθε πίνακας μεταθέσεων σχετίζεται με δύο μεταθέσεις, όπως μπορούμε να δούμε επανασημασιοδοτώντας το παράδειγμα στο μεγάλο τετράγωνο παραπάνω ξεκινώντας με τον πίνακα P πάνω δεξιά:

${\displaystyle {\begin{matrix}\rho _{P}\colon {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&4&1\end{pmatrix}}&\longleftrightarrow &P\colon {\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}\\[5pt]{\Big \updownarrow }&&{\Big \updownarrow }\\[5pt]P^{-1}\colon {\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}&\longleftrightarrow &\kappa _{P}\colon {\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&2&1&3\end{pmatrix}}\end{matrix}}}$

Έτσι, εδώ συμβολίζουμε το αντίστροφο του C ως ${\displaystyle \kappa }$ και το αντίστροφο του R ως ${\displaystyle \rho }$. Μπορούμε στη συνέχεια να υπολογίσουμε τις γραμμικές-αλγεβρικές ιδιότητες του P από κάποιες συνδυαστικές ιδιότητες που μοιράζονται οι δύο μεταθέσεις ${\displaystyle \kappa _{P}}$ και ${\displaystyle \rho _{P}=\kappa _{P}^{-1}}$.

Ένα σημείο είναι σταθερό από το ${\displaystyle \kappa _{P}}$ ακριβώς όταν είναι σταθερό από το ${\displaystyle \rho _{P}}$, και το ίχνος του P είναι ο αριθμός των κοινών σταθερών σημείων.^[1](p322) Εάν ο ακέραιος k είναι ένας από αυτούς, τότε το τυπικό διάνυσμα βάσης e_k είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του P.^[1](p118)

Για να υπολογίσουμε τις μιγαδικές ιδιοτιμές του P, γράφουμε την μετάθεση ${\displaystyle \kappa _{P}}$ ως μια σύνθεση διαχωρισμένων κύκλων, ας πούμε ${\displaystyle \kappa _{P}=c_{1}c_{2}\cdots c_{t}}$. (Οι μεταθέσεις ασύζευκτων υποσυνόλων αντιμετατίθενται, οπότε δεν έχει σημασία εδώ αν συνθέτουμε από δεξιά προς τα αριστερά ή από αριστερά προς τα δεξιά). Για ${\displaystyle 1\leq i\leq t}$, έστω ότι το μήκος του κύκλου ${\displaystyle c_{i}}$ είναι ${\displaystyle \ell _{i}}$, και έστω ${\displaystyle L_{i}}$ το σύνολο των μιγαδικών λύσεων του ${\displaystyle x^{\ell _{i}}=1}$, οι οποίες λύσεις είναι οι ${\displaystyle \ell _{i}^{\,{\text{th}}}}$ ρίζες μονάδας^[6]. Η ένωση των πολλαπλών συνόλων των ${\displaystyle L_{i}}$ είναι τότε το πολλαπλό σύνολο των ιδιοτιμών του P. Εφόσον γράφοντας το ${\displaystyle \rho _{P}}$ ως γινόμενο κύκλων θα έδινε τον ίδιο αριθμό κύκλων ίδιου μήκους, η ανάλυση του ${\displaystyle \rho _{p}}$ θα έδινε το ίδιο αποτέλεσμα. Η πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής v είναι ο αριθμός των i για τα οποία ο ${\displaystyle L_{i}}$ περιέχει την v.^[7] (Εφόσον κάθε πίνακας μεταθέσεων είναι κανονικός και κάθε κανονικός πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος πάνω στους μιγαδικούς αριθμούς,^[1](p259) η αλγεβρική και η γεωμετρική πολλαπλότητα μιας ιδιοτιμής v είναι η ίδια).

Από τη θεωρία των ομάδων γνωρίζουμε ότι κάθε μετάθεση μπορεί να γραφτεί ως σύνθεση μεταφοράς. Επομένως, οποιοσδήποτε πίνακας μετατροπής παραγοντοποιείται ως γινόμενο στοιχειωδών πινάκων με μεταθέσεις στη σειρά, καθένας από τους οποίους έχει ορίζουσα −1. Έτσι, η ορίζουσα του πίνακα μεταθέσεων P είναι το πρόσημο της μετάθεσης ${\displaystyle \kappa _{P}}$, που είναι επίσης το πρόσημο του ${\displaystyle \rho _{P}}$.

Δημοσιεύσεις

• Μαυρογιάννης, Ν. Σ. (Μαΐου 2016). «Μία εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς». Εκθέτης Φύλλα Μαθηματικής Παιδείας (16): 1-8. http://ekthetis.gr/Ekthetis016.pdf. 
• Bronshtein, I. N.· Semendyayev, K. A. (29 Ιουνίου 2013). Handbook of Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-21982-9. 
• Belevitch V (1950). «Theory of 2n-terminal networks with applications to conference telephony». Electrical Communication 27: 231–244. 
• Bareiss, E. H. (1969), «Numerical solution of linear equations with Toeplitz and vector Toeplitz matrices», Numerische Mathematik 13 (5): 404–424, doi:10.1007/BF02163269 
• Goldreich, O.; Tal, A. (2018), «Matrix rigidity of random Toeplitz matrices», Computational Complexity 27 (2): 305–350, doi:10.1007/s00037-016-0144-9 
• Diodorus Siculus, Bibliotheca Historica. Vol. 1–2. Immanel Bekker. Ludwig Dindorf. Friedrich Vogel. in aedibus B. G. Teubneri. Leipzig. 1888–1890. Greek text available at the Perseus Digital Library.
• de Boor, Carl (1990), «An empty exercise», ACM SIGNUM Newsletter 25 (2): 3–7, doi:10.1145/122272.122273, http://ftp.cs.wisc.edu/Approx/empty.pdf 
• Bourbaki, Nicolas (1998), Algebra I, Chapters 1-3, Springer, ISBN 9783540642435 
• Habgood, Ken; Arel, Itamar (2012). «A condensation-based application of Cramer's rule for solving large-scale linear systems». Journal of Discrete Algorithms 10: 98–109. doi:10.1016/j.jda.2011.06.007. https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01500199/file/HA.pdf. 

Δείτε επίσης

• Field Arithmetic
• Πραγματικό προβολικό επίπεδο
• Πραγματικός αριθμός
• Αντιερμιτιανός πίνακας
• Μέγιστος κοινός διαιρέτης
• Υπολογιστική βιολογία
• Ελάσσων (γραμμική άλγεβρα)
• Προβολή (γραμμική άλγεβρα)
• Συμμετρικός πίνακας
• Παραμετρικές εξισώσεις
• Πολλαπλασιασμός πινάκων
• Επαναλαμβανόμενη συνάρτηση
• Ανάλυση πίνακα σε ιδιάζουσες τιμές
• Αντιστρέψιμος πίνακας
• High performance algorithms for reduction to condensed (Hessenberg, tridiagonal, bidiagonal) form

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Matrix calculator
• Matrix Analysis
• Complex-Valued Matrix Derivatives: With Applications in Signal Processing ...
• Exercises of Matrices and Linear Algebra
• Fourier Transforms: Approach to Scientific Principles
• Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory.
• Physics and Combinatorics 2000: Proceedings of the Nagoya 2000 International ...
• Matrix Calculus and Kronecker Product: A Practical Approach to Linear and ...
• Matrix Riccati Equations in Control and Systems Theory ...
• Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics.
• Lectures on the Combinatorics of Free Probability, Τόμος 13

Παραπομπές

1. Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice Hall. σελίδες 24–26,118,259,322. ISBN 0-13-004763-5. OCLC 24364036. 
2. Zavlanos, Michael M.; Pappas, George J. (November 2008). «A dynamical systems approach to weighted graph matching». Automatica 44 (11): 2817–2824. doi:10.1016/j.automatica.2008.04.009. https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0005109808002616. Ανακτήθηκε στις 21 August 2022. «Let ${\displaystyle O_{n}}$ denote the set of ${\displaystyle n\times n}$ orthogonal matrices and ${\displaystyle N_{n}}$ denote the set of ${\displaystyle n\times n}$ element-wise non-negative matrices. Then, ${\displaystyle P_{n}=O_{n}\cap N_{n}}$, where ${\displaystyle P_{n}}$ is the set of ${\displaystyle n\times n}$ permutation matrices.». 
3. This terminology is not standard. Most authors use just one of the two correspondences, choosing which to be consistent with their other conventions. For example, Artin uses the column-based correspondence. We have here invented two names in order to discuss both options.
4. Conway, John H.· Burgiel, Heidi· Goodman-Strauss, Chaim (2008). The Symmetries of Things. A K Peters/CRC Press. σελ. 179. doi:10.1201/b21368. ISBN 978-0-429-06306-0. OCLC 946786108. A permutation—say, of the names of a number of people—can be thought of as moving either the names or the people. The alias viewpoint regards the permutation as assigning a new name or alias to each person (from the Latin alias = otherwise). Alternatively, from the alibi viewoint we move the people to the places corresponding to their new names (from the Latin alibi = in another place.) 
5. Brualdi 2006, σελ. 19
6. «Αγγλοελληνικό λεξικό μαθηματικών ορών - unity .: μονάδα || root of—: ρίζα μονάδας» (PDF). 
7. Najnudel & Nikeghbali 2013, σελ. 4

• Brualdi, Richard A. (2006). Combinatorial matrix classes. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. 108. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86565-4. Zbl 1106.05001. 
• Najnudel, Joseph; Nikeghbali, Ashkan (2013), «The Distribution of Eigenvalues of Randomized Permutation Matrices», Annales de l'Institut Fourier 63 (3): 773–838, http://www.numdam.org/item/AIF_2013__63_3_773_0/