Θεώρημα διχοτόμου

Εσωτερική διχοτόμος της κορυφής στο τρίγωνο . Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι .

Στην γεωμετρία, το θεώρημα διχοτόμου (ή αλλιώς θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου ή πρώτο θεώρημα διχοτόμου) λέει ότι σε ένα τρίγωνο η διχοτόμος ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών.[1]:153-154[2]:191-193[3]:95-96[4]:327-331 Δηλαδή,

Εξωτερική διχοτόμος της κορυφής στο τρίγωνο . Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι .

Το δεύτερο θεώρημα διχοτόμουθεώρημα εξωτερικής διχοτόμου) λέει ότι η εξωτερική διχοτόμος ενός τριγώνου με ικανοποιεί

Αποδείξεις

Απόδειξη (με θεώρημα Θαλή)  

Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή στην , που τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Από την παραλληλία, προκύπτει ότι (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως,

και άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με .

Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες και , έχουμε ότι:

.

 

 

 

 

Απόδειξη (με τύπο για τα εμβαδά)  

θα χρησιμοποιήσουμε τους εξής δύο τύπους για το εμβαδόν τριγώνου:

Παρατηρήστε ότι τα τρίγωνα και έχουν κοινό ύψος το . Επομένως τα εμβαδά τους δίνονται από

και

Διαιρώντας κατά μέλη αυτές τις δύο ισότητες λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση:

 

 

 

 

Εφαρμογές

Διχοτόμοι τριγώνου συντρέχουν

Έστω , και οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου. Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα έχουμε ότι οι διχοτόμοι συντρέχουν, καθώς

Το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι διχοτόμοι λέγεται το έγκεντρο του τριγώνου.

Υπολογισμός ΒΔ και ΓΔ

Έστω , και , τότε

και .

Συντεταγμένες για το έγκεντρο

Έστω τα διανύσματα των τριών κορθφών των τριγώνων. Τότε, από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου και την σχέση των και , το σημείο της διχοτόμου δίνεται από

.

Επομένως, η εξίσωση της διχοτόμου δίνεται από

,

για . Αντίστοιχα, και για τις άλλες διχοτόμους. Το μοναδικό σημείο που ικανοποιεί και τις τρεις εξισώσεις ταυτόχρονα είναι το

.

Επομένως, αυτό είναι το έγκεντρο του τριγώνου.

Απολλώνιος κύκλος

Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του γεωμετρικού τόπου των σημείων των οποίων οι αποστάσεις από δοσμένα σημεία και , έχουν σταθερό λόγο . Δηλαδή,

Ο γεωμετρικός τόπος αυτών των σημείων είναι ο Απολλώνιος κύκλος.

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

Απόδειξη

Η απόδειξη είναι η ίδια με αυτή της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιώντας το θεώρημα τομής του Θαλή, αλλά το σχήμα είναι διαφορετικό. Για πληρότητα, παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω:

Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή στην , που τέμνει την προέκταση της στο σημείο .

Από την παραλληλία, προκύπτει ότι (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως,

και άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές με .

Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες και , έχουμε ότι:

.

 

 

 

 

Υπολογισμός των ΒΔ' και ΓΔ'

Από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου και χρησιμοποιώντας ότι , προκύπτει ότι

και .

Δείτε επίσης

Παραπομπές

  1. Ταβανλής, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτέλης. 
  2. Νικολάου, Νικολαος Δ. (1973). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. 
  3. Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). Ευκλείδειος Γεωμετρία. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. 
  4. Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). Θεωρητική Γεωμετρία. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα. 

Read other articles:

الرابطة التونسية المحترفة الأولى 2001–02 تفاصيل الموسم 2001–02 النسخة 47  البلد تونس  المنظم الجامعة التونسية لكرة القدم  البطل الترجي الرياضي التونسي (17) مباريات ملعوبة 132 عدد المشاركين 12   أهداف مسجلة 285 معدل الأهداف 2.16 الهداف كانديا تراوري (13)[1] 2000–01 2002–03 تعديل مص

 

David PaetkauPaetkau di Festival Film Internasional Toronto pada tahun 2014Lahir10 November 1978 (umur 45)Vancouver, British ColumbiaKebangsaanKanadaPekerjaanAktorTahun aktif1998–sekarangSuami/istriEvangeline Duy David Paetkau (lahir 10 November 1978) adalah orang Kanada aktor yang telah berperan sebagai Evan Lewis Final Destination 2 (2003), petugas bea cukai di LAX (2004), Beck McKaye di Whistler (2006–2008), Ira Glatt di Goon (2011), dan Sam Braddock dalam CTV seri televisi F...

 

Чемпіонат УРСР з легкої атлетики 1950 Чемпіонат УРСР з легкої атлетики 1950Загальна інформаціяМісто Одеса← 1949 Харків 1951 Харків → Чемпіонат УРСР з легкої атлетики 1950 року відбувся пізньої осені в Одесі. У змаганнях не взяли участі провідні легкоатлети, які виступали за к

Questa voce sugli argomenti palazzi della Germania e Assia è solo un abbozzo. Contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia. Municipio NuovoFacciata del municipioLocalizzazioneStato Germania LandAssia IndirizzoSchlossplatz Coordinate50°04′54.84″N 8°14′30.98″E / 50.0819°N 8.24194°E50.0819; 8.24194Coordinate: 50°04′54.84″N 8°14′30.98″E / 50.0819°N 8.24194°E50.0819; 8.24194 Informazioni generaliCondizioniIn uso S...

 

A model of BeppoSAX. BeppoSAX adalah satelit Italia-Belanda untuk astronomi sinar-X yang memainkan peran penting dalam menyelesaikan asal ledakan sinar gamma (GRBs), peristiwa yang paling energik yang dikenal di alam semesta. Itu adalah misi X-ray pertama yang mampu secara bersamaan mengamati target selama lebih dari 3 dekade energi, 0,1-300 kiloelectronvolts (keV) dengan daerah yang relatif besar, baik (untuk saat ini) resolusi energi dan pencitraan kemampuan (dengan resolusi spasial 1 menit...

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Januari 2023. Pauline ChaseChase ca. 1905LahirPauline Bliss(1885-05-20)20 Mei 1885Washington, D.C., A.S.Meninggal15 Maret 1962(1962-03-15) (umur 76)Royal Tunbridge Wells, Kent, InggrisSuami/istriAlexander Victor Drummond ​ ​(m. 1914;...

1993 children's picture book by Chris Raschka Yo! Yes? AuthorChris RaschkaIllustratorChris RaschkaCountryUnited StatesLanguageEnglishGenrechildren's bookspicture booksPublisherOrchard BooksPublication dateMarch 1, 1993Media typePrintPages32ISBN0-531-05469-1 Yo! Yes? is a 1993 children's picture book written and illustrated by Chris Raschka.[1] The Book was published in March 1993 by Orchard Books. Plot The book is about two boys, one black and one white, that meet each other and ...

 

Street gang from Los Angeles, California For Crip theory, see Disability studies. CripsTattooed CripFounded1969; 54 years ago (1969)FoundersRaymond Washington and Stanley WilliamsFounding locationLos Angeles, California, United StatesYears active1969–presentTerritory41 U.S. states,[1] Canada[2] and Belize[3]EthnicityPredominantly African American[1]Membership (est.)30,000–35,000[4]ActivitiesDrug trafficking, murder, assau...

 

Organization of physicists Not to be confused with the American Physical Society which was absorbed by the Royal Physical Society of Edinburgh in 1796. American Physical SocietyAbbreviationAPSFormationMay 20, 1899; 124 years ago (1899-05-20)TypeScientificPurposeTo advance and diffuse the knowledge of physicsLocationAmerican Center for PhysicsCollege Park, Maryland, United StatesMembership 50,000Websitewww.aps.org The American Physical Society (APS) is a not-for-profit member...

Men's Triathlon at the 2014 Commonwealth GamesVenueStrathclyde Country ParkDate24 July 2014Competitors45 from 22 nationsWinning time1:48:50Medalists  Alistair Brownlee   England Jonathan Brownlee   England Richard Murray   South Africa← 20062018 → Triathlon at the2014 Commonwealth GamesEventsmenwomenmixed relayvte The men's triathlon was part of the Triathlon at the 2014 Commonwealth Games program. The...

 

Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Simón Bolívar (Begriffsklärung) aufgeführt. Simón Bolívar, postume Darstellung (Gemälde von A. Michelena, 1895) Simón José Antonio de la Santísima Trinidad Bolívar y Ponte(-Andrade) (y) Palacios y Blanco [siˈmɔn boˈliβaɾ], genannt „El Libertador“ (* 24. Juli 1783 in Caracas, Neugranada, heute Venezuela; † 17. Dezember 1830 in Santa Marta, Großkolumbien,[1] heute Kolumbien) war ein südameri...

 

American lawyer, politician and judge Ernesto ScorsoneJudge of theFayette County Circuit CourtIn officeAugust 2008 – November 30, 2021Appointed bySteve BeshearPreceded bySheila IsaacSucceeded byJeffrey TaylorMember of the Kentucky Senatefrom the 13th districtIn office1996–2008Succeeded byKathy SteinMember of the Kentucky House of Representativesfrom the 75th districtIn office1984–1996Succeeded byKathy Stein Personal detailsBorn (1952-02-15) February 15, 1952 (age...

For the military unit, see 3rd (Lahore) Division. Division in Punjab, PakistanLahore Division لاہور ڈویژنDivisionMap of Lahore DivisionCountry PakistanProvince PunjabCapitalLahoreDistrictsLahore Kasur Nankana SahibSheikhupuraGovernment • TypeDivisional Administration • CommissionerMuhammad Ali Randhawa (PAS) • Capital City Police Officer (CCPO)Bilal Siddiqui Kamyana (PSP)Area • Total11,727 km2 (4,528 sq mi)Populatio...

 

FrekuensiSimbol umumfSatuan SIHertzDalam satuan pokok SIs-1 Gelombang sinusoida dengan beberapa macam frekuensi; gelombang yang bawah mempunyai frekuensi yang lebih tinggi Frekuensi atau kekerapan adalah ukuran jumlah terjadinya sebuah peristiwa dalam satuan waktu. Satuan yang banyak digunakan adalah hertz, menunjukkan banyak puncak panjang gelombang yang melewati titik tertentu per detik.[1] Periode adalah durasi waktu dari satu siklus dalam kejadian yang berulang, sehingga periode a...

 

Enzo Nicolás Pérez Informasi pribadiNama lengkap Enzo Nicolás Pérez[1]Tanggal lahir 22 Februari 1986 (umur 37)[2]Tempat lahir Maipú, ArgentinaTinggi 178 cm (5 ft 10 in)[3]Posisi bermain Gelandang tengahInformasi klubKlub saat ini River PlateNomor 24Karier junior1996–2003 Deportivo MaipúKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2003–2007 Godoy Cruz 84 (12)2007–2011 Estudiantes 119 (14)2011–2014 Benfica 70 (9)2012 → Estudiantes (pinjaman) 13...

Election in Rhode Island Main article: 2020 United States presidential election 2020 United States presidential election in Rhode Island ← 2016 November 3, 2020 2024 → Turnout67.6%   Nominee Joe Biden Donald Trump Party Democratic Republican Home state Delaware Florida Running mate Kamala Harris Mike Pence Electoral vote 4 0 Popular vote 307,486 199,922 Percentage 59.39% 38.61% County results Municipality results Precinct results Biden  ...

 

Study and practice of safe operation of firearms This article is about techniques for the safe handling, possession, and storage of firearms. For political and legal issues concerning firearms, see Gun politics and Gun control. For the part of a firearm called a safety or safety catch, see Safety (firearms). This article may require cleanup to meet Wikipedia's quality standards. The specific problem is: How-to advice, lectures, addressing the reader. Mostly needs to be simply deleted. Keep th...

 

Welcome Welcome! Hello, Sf5xeplus, and welcome to Wikipedia! Thank you for your contributions. I hope you like the place and decide to stay. Here are some pages that you might find helpful: The five pillars of Wikipedia Tutorial How to edit a page and How to develop articles How to create your first article (using the Article Wizard if you wish) Manual of Style I hope you enjoy editing here and being a Wikipedian! Please sign your messages on discussion pages using four tildes (~~~~); this wi...

Эта страница — информационный список. См. также основные статьи Политическая система Бельгии и История Бельгии. Запрос «Премьер-министр Бельгии» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью. Премьер-министр Бельгиифр. Premier ministre de Belgiqueнидерл. Eer...

 

Blood test assessing vital organ health This article needs more reliable medical references for verification or relies too heavily on primary sources. Please review the contents of the article and add the appropriate references if you can. Unsourced or poorly sourced material may be challenged and removed.Find sources: Comprehensive metabolic panel – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2021) Comprehensive metabolic panelComputer scree...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!