Θεωρία αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων

Στα μαθηματικά, η θεωρία αναπαραστάσεων είναι μια τεχνική για την ανάλυση των αφηρημένων ομάδων όσον αφορά τις ομάδες των γραμμικών μετασχηματισμών. Αυτό το άρθρο ασχολείται με την θεωρία αναπαραστάσεων των ομάδων που έχουν ένα πεπερασμένο αριθμό στοιχείων.

Basic definitions

Όλες οι γραμμικές αναπαραστάσεις σε αυτό το άρθρο είναι πεπερασμένης διάστασης και θεωρείται ότι είναι μιγαδικές, εκτός αν ορίζεται διαφορετικά. Μια αναπαράσταση του G είναι μία ομάδα ομομορφισμού ρ: G → GL (n, C) από το G στη γενική γραμμική ομάδα GL (n, C). Έτσι, για να καθορίσετε μια αναπαράσταση, απλώς ορίζετε ένα τετραγωνικό πίνακα για κάθε στοιχείο της ομάδας, με τέτοιο τρόπο ώστε οι πίνακες να συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο όπως και τα στοιχεία της ομάδας, όταν πολλαπλασιάζονται μαζί. 

 Λέμε ότι η ρ είναι μια πραγματική απεικόνιση του G αν οι πίνακες είναι πραγματικοί, δηλαδή αν ρ (G) ⊂ GL (n, R).

Άλλα σκευάσματα

 Μία ρ αναπαράσταση: G → GL (n, C) ορίζει μια δράση ομάδας του G στον διανυσματικό χώρο του Cn. Επιπλέον, η δράση αυτή καθορίζει εντελώς την ρ. Ως εκ τούτου, για να καθορίσετε μια αναπαράσταση είναι αρκετό να καθορίσετε πώς λειτουργεί στον αντίστοιχο διανυσματικό χώρο του.

 Εναλλακτικά, η δράση μιας ομάδας G σε ένα μιγαδικό διανυσματικό χώρο V επάγει μια αριστερή δράση της ομάδας άλγεβρας C [G] επί του διανυσματικού χώρου V, και αντίστροφα. Ως εκ τούτου, οι αναπαραστάσεις είναι ισοδύναμες προς τις αριστερές C [G]-μονάδες. 

 Η ομάδα άλγεβρας C [G] είναι | G | -διάστατη άλγεβρα στους μιγαδικούς αριθμούς, στο οποίο το G δρα. Στην πραγματικότητα η C [G] είναι μια αναπαράσταση για τον G × G. Πιο συγκεκριμένα, αν G1 και G2 είναι στοιχεία του G και h είναι ένα στοιχείο της C [G] που αντιστοιχεί στο στοιχείο h του G,

                (g1,g2)[h]=g1 h g2−1

Η C [G] μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως μια αναπαράσταση του G με τρεις διαφορετικούς τρόπους: 

•  Σύζευξη:g[h] = g h g−1 
•  Ως αριστερή δράση:g[h] = g h 
• Ως δεξιά δράση: g[h] = h g−1. Επίσης όλα αυτά «βρίσκονται» στο εσωτερικό της δράσης G × G.

(g₁,g₂)[h]=g₁ h g₂⁻¹.