Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού-αρμονικού μέσου

Στα μαθηματικά, η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού-αρμονικού μέσου είναι η ανισότητα που λέει ότι για κάθε ${\displaystyle n}$ θετικούς πραγματικούς αριθμούς ο αριθμητικός μέσος είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον γεωμετρικό μέσο που είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον αρμονικό μέσο.

Πιο συγκεκριμένα, για τους ${\displaystyle n}$ αριθμούς ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ισχύει ότι^{[1]:2-11[2]:19-36[3][4][5]:32-33[6]:440-443[7]:71-118}

${\displaystyle {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$.

Για την ειδική περίπτωση που έχουμε ${\displaystyle n=3}$ αριθμούς ${\displaystyle a,b,c}$ η ανισότητα παίρνει την μορφή

${\displaystyle {\frac {a+b+c}{3}}\geq {\sqrt[{3}]{abc}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}}}$.

Η ανισότητα αυτή είναι επέκταση της ανισότητας αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου και η απόδειξή της προκύπτει από αυτή.

Παραπομπές

1. Venkatachala, B. J. (2018). Inequalities : an approach through problems (Second έκδοση). Singapore. ISBN 9789811087325. 
2. Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz master class : an introduction to the art of mathematical inequalities. Cambridge, UK. ISBN 9780511817106. 
3. Στεργίου,, Χ.· Σκομπρης, Ν. (2005). Αλγεβρικές Ανισότητες. Σαββάλας. ISBN 9789604235582. 
4. Στεργίου, Μπάμπης (2017). «Εισαγωγή στις ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022. 
5. Κολουντζάκης, Μιχαήλ· Παπαχριστόδουλος, Χρήστος (2015). Διακριτά Μαθηματικά. Αθήνα: Κάλλιπος, Ανοικτές Ακαδημαϊκές Εκδόσεις. ISBN 978-960-603-361-2. 
6. Mitrinović, D. S.· Pečarić, J. E.· Fink, A. M. (1993). Classical and new inequalities in analysis. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-2064-7. 
7. Bullen, P. S. (2003). Handbook of means and their inequalities. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 9781402015229.