1761 wurde Kotelnikow Inspektor des Akademie-Gymnasiums. Er entwickelte Pläne zur Reformierung des Akademie-Gymnasium und der Akademie-Universität, worauf er 1766 das Inspektorenamt verlor. Er leitete das Geographie-Departement, die Bibliothek und die Kunstkammer. Dazu lehrte er am MarinekadettenkorpsMathematik und Navigation. Er gab die Chroniken der Nowgoroder Auferstehungskirche und der Nowgoroder Sophienkathedrale heraus. Er beteiligte sich an der Arbeit der Kommission für die Stärkung der Volksbildung.
Kotelnikow verfasste meist lateinische Fachartikel (Phaenomenorum iridis seu arcus coelestis disquisitio, De aequilibrio virium corporibus applicatarum commentatio, De commoda acus declinatoriae suspensione dissertatiuncula), eine russische Monographie über das Gleichgewicht und die Bewegung von Körpern, ein Mathematik-Lehrbuch (1763), ein Geodäsie-Lehrbuch (1766) und anderes.[1] 1969 beobachtete er in St. Petersburg zusammen mit Johann Albrecht Euler, Christian Mayer und Anders Johan Lexell den Venustransit vor der Sonne. 1783 wurde er Mitglied der inzwischen Russischen Akademie der Wissenschaften.[2] Seit 1797 war er Ehrenmitglied der Akademie.
