Der Sohn eines Lehrers und Direktors des Kirchenchores studierte zunächst am Prager akademischen Gymnasium und von 1866 bis 1870 am Konservatorium das Geigenspiel. Nach dem Abitur war er von 1870 bis 1873 als Konzertmeister am Salzburger Mozarteum tätig, später in Wien, Polen und im russischen Kiew. Ševčík wurde als Violin-Solist wie als Kammermusiker bekannt und spielte unter anderem mit Eugène Ysaÿe. Diese und künftige Auslandsaufenthalte trugen zu seiner Bekanntheit in seiner vor allem umfangreichen Lehrtätigkeit bei.
Nach einer Augenkrankheit beendete er seine Konzerttätigkeit und lehrte von 1875 bis 1892 an der zaristischen Musikschule in Kiew, danach 14 Jahre lang am Prager Konservatorium. 1909 kehre er nach Wien zurück und lehrte dort neun Jahre lang an der Wiener Musikakademie. Nach der Gründung der Tschechoslowakei kehrte er in seine Heimat zurück und wurde zum Professor des Konservatoriums ernannt. Dreimal wurde er zu längeren pädagogischen Aufenthalten in die USA eingeladen, unter anderem nach Boston, Chicago und New York, leitete Meisterkurse in Mondsee und führte noch mit 81 Jahren Meisterkurse in England durch.
Im Jahr 1957 wurde in Wien-Liesing (23. Bezirk) die Sevcikgasse nach ihm benannt.
Zu diesen Studien zählt Der Kleine Ševčík, eine elementare Violinschule, die in 149 Übungen das Halbtonsystem lehrt sowie die Schule der Violintechnik, Erste Lage, Vol. II: Zweite bis siebte Lage sowie Vol. III. Shifting, and Preparatory Exercises in Double-Stopping, op. 9.
Schule der Violintechnik Op 1/1. Violine: Violin Studies, Bosworth, ISBN 0-7119-9519-2 *Schule der Violintechnik Op 1/2. Violine, Bosworth ISBN 3-936026-74-2
