Braun begann seine Karriere als Eishockeyspieler bei den Eisbären Juniors Berlin, mit denen er in der Schüler-Bundesliga spielte. 2006 wechselte er zu den Jungadlern Mannheim, für die er ein Jahr in der Deutschen Nachwuchsliga (DNL) auf dem Eis stand. Im Sommer 2007 wechselte der Angreifer nach Berlin zurück. In seiner ersten Spielzeit kam er zunächst für die Eisbären Juniors Berlin in der Oberliga, so wie deren DNL-Mannschaft, zu jeweils mindestens 20 Einsätzen.
Zwischen 2019[2] und 2022 stand Braun bei den Krefeld Pinguinen unter Vertrag und stieg mit diesen 2022 in die DEL2 ab. Anschließend verließ er den Klub und wechselte innerhalb der DEL zu den Grizzlys Wolfsburg.[3]
International
Laurin Braun kam bei mehreren internationalen Turnieren für die deutsche U17- und U18-Auswahl zum Einsatz. Zunächst nahm er an der U18-Junioren-Weltmeisterschaft 2009 teil, wo ihm in sechs Spielen zwei Tore und zwei Assists gelangen. Später war er Stammspieler der deutschen U20-Auswahl und nahm mit dieser an der U20-Junioren-Weltmeisterschaft der Division I 2010 teil. Dabei schaffte das U20-Team ungeschlagen den direkten Wiederaufstieg in die Top-Division, in der er im Folgejahr spielte.
(Legende zur Spielerstatistik: Sp oder GP = absolvierte Spiele; T oder G = erzielte Tore; V oder A = erzielte Assists; Pkt oder Pts = erzielte Scorerpunkte; SM oder PIM = erhaltene Strafminuten; +/− = Plus/Minus-Bilanz; PP = erzielte Überzahltore; SH = erzielte Unterzahltore; GW = erzielte Siegtore; 1Play-downs/Relegation; Kursiv: Statistik nicht vollständig)