Inverse Halbgruppe

Die inverse Halbgruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Er verallgemeinert den Begriff der Gruppe. Dabei werden inverse Elemente ohne Bezugnahme auf ein neutrales Element definiert.

Definition

Eine inverse Halbgruppe ist eine Halbgruppe ${\displaystyle (A,\cdot )}$ mit der Eigenschaft, dass es zu jedem ${\displaystyle x\in A}$ ein eindeutig bestimmtes ${\displaystyle y\in A}$, Inverses (in Abgrenzung zu dem inversen Element bezogen auf ein neutrales Element auch relatives Inverses^[1]) von ${\displaystyle x}$ genannt, gibt mit

${\displaystyle x\cdot y\cdot x=x}$ und ${\displaystyle y\cdot x\cdot y=y}$.^[2]

Äquivalente Definitionen

Mit Operationssymbol

Eine Halbgruppe ${\displaystyle (A,\cdot )}$ ist eine inverse Halbgruppe, wenn idempotente Elemente kommutieren und es eine weitere Operation ${\displaystyle (-)^{*}\colon A\to A}$ gibt, sodass für alle ${\displaystyle x\in A}$ gilt

${\displaystyle x\cdot x^{*}\cdot x=x}$ und ${\displaystyle x^{*}\cdot x\cdot x^{*}=x^{*}}$.

Rein algebraisch

Eine Halbgruppe ${\displaystyle (A,\cdot )}$ ist eine inverse Halbgruppe, wenn es eine weitere Operation ${\displaystyle (-)^{*}\colon A\to A}$ gibt und folgende Gleichungen für alle ${\displaystyle x,y\in A}$ erfüllt sind:^[3]

• ${\displaystyle (x^{*})^{*}=x,}$
• ${\displaystyle x\cdot x^{*}\cdot x=x,}$
• ${\displaystyle x\cdot x^{*}\cdot y\cdot y^{*}=y\cdot y^{*}\cdot x\cdot x^{*}.}$

Beispiele und Anwendungen

Jede Gruppe ist eine inverse Halbgruppe, mit ${\displaystyle x^{*}:=x^{-1}}$.

Jeder Halbverband ist eine inverse Halbgruppe, mit ${\displaystyle x^{*}:=x}$.

Die Definition einer „Meadow“^[4] erhält man, indem man die Definition eines Körpers als speziellen unitären kommutativen Ring ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ modifiziert: Anstatt außerdem zu fordern, dass ${\displaystyle (R\setminus \{0\},\cdot )}$ eine Gruppe ist, wird gefordert, dass ${\displaystyle (R,\cdot )}$ eine inverse Halbgruppe ist. Die Folge ist, dass „Meadows“ rein algebraisch axiomatisiert werden können. Die „Division“, definiert als Multiplikation mit dem Inversen, wird total; es ist ${\displaystyle 1/0=0}$.

Eigenschaften

Für jedes Element ${\displaystyle x}$ einer inversen Halbgruppe ist ${\displaystyle x^{*}\cdot x}$ immer idempotent. Zudem kann jedes idempotente Element ${\displaystyle e}$ in dieser Form dargestellt werden, da ${\displaystyle e=e^{*}\cdot e}$.

Wie in Gruppen ist ${\displaystyle (x^{*})^{*}=x}$ und ${\displaystyle (x\cdot y)^{*}=y^{*}\cdot x^{*}}$.

Literatur

• Alan Paterson: Groupoids, Inverse Semigroups, and their Operator Algebras. 1999, ISBN 0-8176-4051-7. 
• John Mackintosh Howie: Fundamentals of Semigroup Theory. 1995, ISBN 0-19-851194-9. 

Einzelnachweise

1. A. H. Clifford: Semigroups admitting relative inverses (= Ann. of Math. Nr. 42). 1941, S. 1037–1049. 
2. Alan Paterson: Groupoids, Inverse Semigroups, and their Operator Algebras. 1999, ISBN 0-8176-4051-7, S. 21. 
3. Inversion semi-group. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
4. J.A. Bergstra, Y. Hirshfeld, J.V. Tucker: Meadows and the equational specification of division. 7. Januar 2009, arxiv:0901.0823.