In der Mathematik sind hyperbolische Mannigfaltigkeiten Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit konstanter negativer Schnittkrümmung. Sie spielen eine wichtige Rolle in der niedrig-dimensionalen Topologie, insbesondere in Thurstons Geometrisierungsprogramm.
Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit M {\displaystyle M} ist eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant − 1 {\displaystyle -1} . (Eine Riemannsche Metrik mit Schnittkrümmung konstant − 1 {\displaystyle -1} heißt hyperbolische Metrik. Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist also eine Mannigfaltigkeit mit einer vollständigen hyperbolischen Metrik.)
Äquivalente Definition 1: Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit, deren universelle Überlagerung isometrisch zum hyperbolischen Raum ist.
Äquivalente Definition 2: Eine hyperbolische Mannigfaltigkeit ist eine Riemannsche Mannigfaltigkeit M {\displaystyle M} der Form Γ ∖ H n {\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} ^{n}} , wobei H n {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}} der hyperbolische Raum und Γ ⊂ Isom ( H n ) {\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {Isom} (\mathbb {H} ^{n})} eine diskrete Untergruppe der Gruppe der Isometrien des hyperbolischen Raumes ist.
Weil der hyperbolische Raum zusammenziehbar ist, muss die in Definition 2 verwendete Gruppe Γ {\displaystyle \Gamma } isomorph zur Fundamentalgruppe π 1 M {\displaystyle \pi _{1}M} sein. Die sich aus Definition 2 ergebende Darstellung ρ : π 1 M → Isom ( H n ) = O 0 ( n , 1 ) {\displaystyle \rho \colon \pi _{1}M\to \operatorname {Isom} ({\mathbb {H} }^{n})=O_{0}(n,1)} wird auch als Monodromiedarstellung oder hyperbolische Monodromie bezeichnet.
Im Fall orientierbarer Mannigfaltigkeiten bildet die Monodromiedarstellung nach Isom + ( H n ) = S O 0 ( n , 1 ) {\displaystyle \operatorname {Isom} ^{+}(H^{n})=SO_{0}(n,1)} ab.