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Hüseyin Özgürgün studierte Politikwissenschaft an der Universität Ankara sowie Verwaltungswissenschaft in Großbritannien. 1998, 2003 und 2005 wurde er zum Abgeordneten des Parlaments der nur von der Türkei anerkannten Türkischen Republik Nordzypern gewählt. 2006 war er einige Monate Vorsitzender der konservativen Nationalen Einheitspartei (UBP). 2009 bis 2013 war Özgürgün Außenminister und stellvertretender Ministerpräsident der Türkischen Republik Nordzypern. Nachdem Ministerpräsident Derviş Eroğlu am 23. April 2010 das Amt des Staatspräsidenten übernommen hatte, führte Özgürgün interimistisch bis zum Amtsantritt von İrsen Küçük am 17. Mai 2010 die Regierungsgeschäfte. Ab dem 16. April 2016 war er als Nachfolger von Ömer Kalyoncu Ministerpräsident der Republik Nordzypern. 2018 löste ihn Tufan Erhürman ab.
Neben seiner politischen Tätigkeit war Özgürgün auch als Sportler, u. a. als Fußballspieler, erfolgreich. Er ist verheiratet und hat zwei Kinder.