Gleichung von Euler-Fuß

Eines der vielen Resultate von Leonhard Euler in der elementaren Vierecksgeometrie steht im Zusammenhang mit dem Problem, wann in der euklidischen Ebene zu zwei gegebenen ineinanderliegenden Kreisen ein konvexes Viereck existiert, welches sowohl Sehnenviereck des größeren Kreises als auch Tangentenviereck des kleineren Kreises ist. Euler hat dazu eine Gleichung gefunden, welche eng verwandt ist mit der in seinem Satz über den Abstand von Um- und Inkreismittelpunkt eines ebenen Dreiecks. Die erste veröffentlichte Darstellung und Herleitung der Gleichung hat Eulers Sekretär Nikolaus Fuß im Jahre 1798 geliefert.^[1][2][3]

Darstellung der Gleichung

Gleichung von Euler-Fuß liefert konvexes Viereck

Zu der Euler-Fuß'schen Gleichung gilt der folgende Lehrsatz, welcher den zugehörigen Satz von Fuss und dessen Umkehrung in sich vereinigt:^[4]

Gegeben seien zwei positive Zahlen ${\displaystyle r}$ und ${\displaystyle R}$ sowie zwei Kreise ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}}$ der euklidischen Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}}$ den Radius ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}}$ den Radius ${\displaystyle r}$ habe.

Dabei liege die Kreisscheibe ${\displaystyle \operatorname {conv} ({\mathcal {K}}_{r})}$ von ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}}$ innerhalb der Kreisscheibe ${\displaystyle \operatorname {conv} ({\mathcal {K}}_{R})}$ von ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}}$ und es sei ${\displaystyle r<R}$ .

Der Abstand der beiden Kreismittelpunkte sei ${\displaystyle d}$.

Dann gilt:

Dann und nur dann existiert in der euklidischen Ebene ein konvexes Viereck mit ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{r}}$ als Inkreis und ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{R}}$ als Umkreis, wenn die Gleichung

${\displaystyle {\frac {1}{(R+d)^{2}}}+{\frac {1}{(R-d)^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}}$

erfüllt ist.

Anmerkungen

• In Heinrich Dörries Mathematischen Miniaturen wird die Euler-Fuß'sche Gleichung auch unter dem Stichwort Fuß' Vierecksformel genannt. Dörrie gibt dort – unter Verwendung anderer Parameter – die folgende gleichwertige Gleichung an:^[3][5]

${\displaystyle 2r^{2}(R^{2}+d^{2})=(R^{2}-d^{2})^{2}}$

• Ein konvexes Viereck, welches sowohl einen Umkreis als auch einen Inkreis besitzt, nennt man Heinrich Dörrie zufolge auch ein bizentrisches Viereck.^[5]
• Heinrich Dörrie verweist in seinem Triumph der Mathematik darauf, dass Nikolaus Fuß ebenso die entsprechenden Formeln für das bizentrische Fünfeck, Sechseck, Siebeneck und Achteck gefunden hat.^[6]

Quellen und Literatur

• Julian Lowell Coolidge: A Treatise on the Circle and the Sphere. (Corrected reprint of the 1916 edition). Chelsea Publishing Company, Bronx, N.Y. 1971, ISBN 0-8284-0236-1 (archive.org). 
• Heinrich Dörrie: Triumph der Mathematik. 100 berühmte Probleme aus zwei Jahrtausenden mathematischer Kultur. 5. Auflage. Physica-Verlag, Würzburg 1958. 
• Heinrich Dörrie: Mathematische Miniaturen. 2. Auflage. Sändig, Wiesbaden 1979, ISBN 3-500-21150-X (unveränderter Nachdruck der Ausgabe 1943). 
• Max Simon: Über die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX. Jahrhundert. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Band 15. B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1906 (archive.org). 

Einzelnachweise

1. Julian Lowell Coolidge: A Treatise on the Circle and the Sphere. 1916 (Nachdruck 1971, 2004), S. 44 ff
2. Max Simon: Über die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX. Jahrhundert. 1906, S. 108
3. Heinrich Dörrie: Mathematische Miniaturen. 1979, S. 71–72, 115
4. Julian Lowell Coolidge: op. cit. S. 46 ff, 117–118
5. Dörrie, op. cit., S. 522
6. Heinrich Dörrie: Triumph der Mathematik. 1958, S. 196