Der in Helsingborg geborene und in Jonstorp aufgewachsene Brunnström durchlief zunächst die Juniorenabteilungen von Jonstorps IF, bei dem er in der Saison 2002/03 im Alter von 17 Jahren erstmals in der Seniorenmannschaft in der dritthöchsten schwedischen Spielklasse debütierte. Im Sommer 2003 wechselte der Schwede in seine Geburtsstadt zum Helsingborgs HC in die vierthöchste Liga Schwedens und kam dort in zwei Spielzeiten zu 42 Scorerpunkten. Es erfolgte der Transfer zurück zu Jonstorps IF, wo er ein hervorragendes Spieljahr mit 44 Punkten in 38 Partien hatte. Zudem kam er zu drei Einsätzen im Trikot von Rögle BK in der HockeyAllsvenskan, in denen er jedoch punktlos blieb. Nach nur einem Jahr in Jonstorp verließ Brunnström das Team und wechselte innerhalb der 1. Division zum Borås HC. Mit 73 Scorerpunkten in 41 Partien führte der Stürmer die Mannschaft zum Titelgewinn und somit zum Aufstieg in die Allsvenskan.
Durch seine Leistungen wurden sowohl die Teams der Elitserien als auch der National Hockey League auf ihn aufmerksam, obwohl ihn diese im NHL Entry Draft 2003 nicht weiter beachtet hatten und er ungedraftet geblieben war. Brunnström entschied sich schließlich zur Saison 2007/08 einen Zweijahresvertrag bei Färjestad BK zu unterschreiben, mit denen er das Meisterschaftshalbfinale erreichte. Bereits im Saisonverlauf wurde er trotz seines laufenden Vertrages immer wieder mit den Franchises der NHL in Verbindung gebracht, da er nach deren Statuten als Free Agent galt. Vor allem die Vancouver Canucks, Toronto Maple Leafs und Anaheim Ducks, aber auch die Detroit Red Wings, Dallas Stars und Montréal Canadiens sowie eine Vielzahl von weiteren Teams zeigten Interesse an einer möglichen Verpflichtung eines der größten ungedrafteten Talente außerhalb der NHL im Sommer 2008. Am 9. Mai unterzeichnete er schließlich einen Zweijahresvertrag bei den Dallas Stars.
Nachdem Brunnström im folgenden Herbst das Trainingscamp mit den Stars absolviert hatte, fand er sich in den ersten beiden Saisonspielen des Teams zunächst auf der Tribüne wieder. Im dritten Spiel der Saison, am 15. Oktober 2008, gab er schließlich sein Debüt, bei dem er drei Tore und damit einen Hattrick erzielte. Dies war zuvor nur zwei Spielern – namentlich Alex Smart im Jahr 1943 und Réal Cloutier 1979 – in der NHL-Geschichte bei ihrem Ligadebüt gelungen.
Brunnström beendete seine Rookiesaison mit 29 Punkten in 55 Spielen. In der Saison 2009/10 blieb er hinter den Erwartungen zurück und schoss lediglich zwei Tore in 44 Spielen, weshalb er noch vor Saisonende ins Farmteam zu den Texas Stars in die American Hockey League geschickt wurde. Auch die Saison 2010/11 begann er im Farmteam und kam in 38 Spielen auf 24 Punkte, ehe Brunnström im Januar 2011 in einem Tauschgeschäft für den Weißrussen Michail Stefanowitsch an die Toronto Maple Leafs abgegeben wurde.
(Legende zur Spielerstatistik: Sp oder GP = absolvierte Spiele; T oder G = erzielte Tore; V oder A = erzielte Assists; Pkt oder Pts = erzielte Scorerpunkte; SM oder PIM = erhaltene Strafminuten; +/− = Plus/Minus-Bilanz; PP = erzielte Überzahltore; SH = erzielte Unterzahltore; GW = erzielte Siegtore; 1Play-downs/Relegation; Kursiv: Statistik nicht vollständig)
.jpg)
