Curtis Hamilton, der sowohl die US-amerikanische als auch die kanadische Staatsbürgerschaft besitzt, begann in Kelowna bei den dortigen Junior Rockets seine Karriere. In der Saison 2006/07 spielte er für Okanagan Rockets in einer Jugendliga in der Provinz British Columbia und wurde beim Bantam Draft der Western Hockey League (WHL) von den Saskatoon Blades in der zweiten Runde als 36. Spieler gezogen. Die folgenden vier Jahre verbrachte er bei dem Team aus der Hauptstadt der Provinz Saskatchewan in der WHL. Beim NHL Entry Draft 2010 wurde er von den Edmonton Oilers aus der National Hockey League (NHL) in der zweiten Runde als insgesamt 48. Spieler gezogen.
Im Sommer 2011 wechselte der Stürmer in die Organisation der Oilers, wurde aber in den folgenden Jahren fast ausschließlich in deren Farmteam, den Oklahoma City Barons, in der American Hockey League (AHL) eingesetzt. Am 9. April 2015 absolvierte er sein einziges NHL-Spiel für die Edmonton Oilers. Als sein Vertrag nach der Saison ausgelaufen war, wechselte er nach Europa und schloss sich dem HC Sparta Prag aus der tschechischen Extraliga an, wo er bereits in seiner ersten Spielzeit die beste Plus/Minus-Bilanz der Hauptrunde der Liga erreichte und mit der Mannschaft Vizemeister wurde. Im Sommer 2016 verließ Hamilton den tschechischen Traditionsklub und wechselte zu SaiPa Lappeenranta in die finnische Liiga. Dort spielte er bis Mitte Februar 2017, ehe er an den Ligakonkurrenten TPS Turku ausgeliehen wurde. Danach blieb Hamilton bis zum Jahresanfang 2018 ohne Verein, bevor er von Tappara Tampere unter Vertrag genommen wurde. Die Spielzeit 2017/18 beendete er jedoch bei SaiPa Lappeenranta.
(Legende zur Spielerstatistik: Sp oder GP = absolvierte Spiele; T oder G = erzielte Tore; V oder A = erzielte Assists; Pkt oder Pts = erzielte Scorerpunkte; SM oder PIM = erhaltene Strafminuten; +/− = Plus/Minus-Bilanz; PP = erzielte Überzahltore; SH = erzielte Unterzahltore; GW = erzielte Siegtore; 1Play-downs/Relegation; Kursiv: Statistik nicht vollständig)
