Der auf der Position des Flügelstürmers agierende Christoph Bertschy spielte in seiner Jugend zuerst für die ENB SenSee in Düdingen. Im Moskito-Alter wechselte er in den Nachwuchsbereich von Fribourg-Gottéron, als Juniorenspieler dann zum SC Bern. Im Trikot der Stadtberner spielte er sowohl für die Elite Novizen, als auch die Elite-A-Junioren. Im Verlauf der Saison 2011/12 absolvierte der rechts schiessende Angreifer seine ersten NLA-Einsätze für den SC Bern. Er beendete seine Debütsaison mit 18 Scorerpunkten, insbesondere in der Qualifikation war er mit 16 Punkten in 31 Begegnungen eine der Neuentdeckungen der Spielzeit. Im Anschluss an diese Spielzeit wurde er beim NHL Entry Draft 2012 in der sechsten Runde an insgesamt 158. Position von den Minnesota Wild ausgewählt.
Er besaß beim SC Bern einen Kontrakt bis zum Saisonende 2014/15, den er erfüllte. Im Anschluss unterzeichnete er einen Einstiegsvertrag bei den Minnesota Wild, die ihn vorerst hauptsächlich bei ihrem Farmteam, den Iowa Wild aus der American Hockey League, einsetzten. Bei den Iowa Wild wurde er in den ersten beiden Reihen eingesetzt und erhielt ebenfalls viel Einsatzzeit bei Überzahlsituationen.
Nach etwa zweieinhalb Jahren in der Organisation der Wild wurde der Angreifer im Februar 2018 samt Mario Lucia an die New Jersey Devils abgegeben, die im Gegenzug Viktor Lööv nach Minnesota schickten.[1] Da er auch bei den Devils ausschließlich in der AHL bei den Binghamton Devils eingesetzt wurde, entschloss er sich zu einer Rückkehr in die Schweiz und unterschrieb im März 2018 einen Vierjahresvertrag beim Lausanne HC.[2]
Zur Saison 2022/23 wechselte er zu Fribourg-Gottéron und unterzeichnete dort einen Siebenjahresvertrag mit Gültigkeit bis zum Saisonende 2028/29.
(Legende zur Spielerstatistik: Sp oder GP = absolvierte Spiele; T oder G = erzielte Tore; V oder A = erzielte Assists; Pkt oder Pts = erzielte Scorerpunkte; SM oder PIM = erhaltene Strafminuten; +/− = Plus/Minus-Bilanz; PP = erzielte Überzahltore; SH = erzielte Unterzahltore; GW = erzielte Siegtore; 1Play-downs/Relegation; Kursiv: Statistik nicht vollständig)