Nach dem Abitur an der Mittelschule Užventis (jetzt Šatrijos-Ragana-Gymnasium Užventis) bei Kelmė absolvierte Aurelijus Veryga von 1994 bis 2000 das Medizinstudium an der Kauno medicinos akademija und wurde Arzt.
2000 initiierte und gründete er mit seinen Kollegen das Hilfezentrum für Jugend-Narkologie in Kaunas. 2004 absolvierte er das Weiterbildungsstudium („Residentur“) und wurde Arzt der Psychiatrie sowie promovierte in Biomedizin.
Veryga ist verheiratet. Mit seiner Frau Rasa hat er den Sohn Tadas (* 2001) und die Töchter Ieva (* 2005) sowie Vaiva (* 2008). Bis 2016 lebte er mit seiner Familie im Dorf Išorai, Rajongemeinde Jonava.