Hackett, geboren in Manhattan, war der älteste von zwei Söhnen der Bühnenschauspielerin Florence Hackett sowie Maurice Hackett. Sein um zwei Jahre jüngerer Bruder sollte später Stummfilmschauspieler Raymond Hackett werden. Der Vater der beiden starb jedoch 1905, als Albert fünf, Raymond erst drei Jahre alt war.
Hackett, bestätigt durch seine Mutter, besuchte ab seinem sechsten Lebensjahr die New York’s Professional Children’s School, und war bereits ab 1912 in einigen Stummfilmen als Nebendarsteller präsent. Bis zu seinem 22. Lebensjahr stand er vor der Kamera, bis er sich entschloss, Theaterstücke und Drehbücher zu verfassen.
Doch seine ersten Entwürfe waren kaum von Erfolg gekrönt, bis er Ende der 1920er-Jahre die ebenfalls als Schriftstellerin tätige Frances Goodrich kennen und lieben lernte. Beide heirateten am 7. Februar 1931. War es für die zehn Jahre ältere Goodrich bereits die dritte Ehe, so für Hackett die erste. Zusammen gingen sie nach Los Angeles, um in Hollywood zu reüssieren.
Für Albert und Frances Goodrich begann eine über 30 Jahre währende Partnerschaft auch im Beruflichen. Beide schrieben zusammen Drehbücher, beide wurden viermal für den Oscar in der Kategorie Bestes adaptiertes Drehbuch nominiert. Sie schrieben unter anderem die Drehbücher zu drei Krimikomödien der Dünner-Mann-Filmreihe mit William Powell und Myrna Loy, außerdem waren sie am Drehbuch zum Filmklassiker Ist das Leben nicht schön? beteiligt.
Nach ihrem letzten Film, dem 1962 produzierten Filmdrama Five Finger Exercises, zogen sich Albert und Frances in ihr Privatleben zurück. Nach dem Tod seiner Frau, am 29. Januar 1984, heiratete Albert Hackett 1985 die gebürtige Schwedin Gisella Svetlik. Mit ihr blieb er bis zu seinem Tod verheiratet.