Lindstrøm startede med at spille fodbold i B70 i Taastrup, skiftede til Vallensbæk IF i 2009, men skiftede som U13-spiller til Brøndby IF.[2] Som ungdomsspiller lå hans styrker i det taktiske og det tekniske, men han manglede noget fysik.[2]
Den 28. juli 2019 fik han startdebut mod OB, hvor han ligeledes fik scoret sit første superligamål. Den 1. august sikrede han Brøndby avancement fra 2. kvalifikationsrunde i Europa League, da han efter en sen indskiftning scorede to mål i den forlængede spilletid mod Lechia Gdańsk.
Den 24. maj 2021 blev han dansk mester med Brøndby efter 16 års tørke. I guldsæsonen dannede han en farlig angrebsduo med sæsonens topscorer Mikael Uhre.
Eintracht Frankfurt
Den 11. juli 2021 blev han solgt til Eintracht Frankfurt i den tyske Bundesliga for ca. 52 millioner kroner + bonusser. Han fik snart succes i den tyske klub, hvor han blev kåret som årets rookie (nye spiller) i Bundesligaen 2021-2022.[4]
Den 19. maj 2022 vandt han Europa League-finalen med Eintracht Frankfurt, der samtidig fik en billet til Champions League.
Den 13. september 2022 scorede han klubbens allerførste Champions League mål imod Olympique Marseille på udebane. Kampen endte 0-1 til Frankfurt, og han endte dermed med at blive matchvinder.
Han nåede at spille i alt 80 kampe for klubben, og her scorede han 14 mål samt havde 14 oplæg til mål.[5]
Napoli
I august 2023 skiftede Lindstrøm til de italienske mestre, S.S.C. Napoli.[6][5]