Jønsson indledte sin karriere med at spille for Viby IF, men skiftede i en alder af 7 år til naboklubben Lyseng. I januar 2005, lige efter at have været med til at føre Lyseng IF til både et Jysk- og et Århusmesterskab begyndte han at spille for AGF. I 2005 vandt AGF og Jens Jønsson lilleput-DM med bl.a. Viktor Fischer, Frans Dhia Putros, Sebastian Pingel og Mikkel Qvist på holdkortet.
Jens Jønssons første mål for AGF blev scoret mod Silkeborg IF. Han sikrede herved AGF 3-3 med en halvflugter fra en distance på 25 meter og sikrede dermed AGF det ene point, få sekunder inden slutfløjtet lød. Målet blev siden kåret til årets mål i Superligaen 2012, der blev kåret via en seer afstemning ved DR’s Sportgalla 2012.[1]
I tidens løbe har Jønsson primært spillet på midtbanen, men han blev under træner Morten Wieghorst i en periode placeret som central forsvarsspiller. Udsigten til at skulle spille fast der passede ikke Jønsson, der offentligt luftede sine frustrationer.[2] Med udskiftningen af Wieghorst kom Jønsson tilbage til midtbanen,[3] hvilket fik ham til at forlænge sin kontrakt i januar 2016, så den løb til sommeren 2017.[4]
Konyaspor
Jønsson skiftede kort efter sin hjemkomst fra OL i Rio til tyrkiske Konyaspor,[5] der efter en tredjeplads i den tyrkiske liga sæsonen forinden var direkte kvalificeret til UEFA Europa League.
Han scorede i marts 2017 sit første mål for klubben, da han sparkede bolden i nettet til det, der skulle blive det eneste mål i 1-0-sejren over Adanaspor.[6] I sin første sæson i klubben opnåede han at blive tyrkisk pokalmester, da Konyaspor vandt finalen over İstanbul Başakşehir F.K. med 4-1 efter straffesparkskonkurrence.[7]
Jens Jønsson udmærkede sig positivt i sin 4-årige periode i Konyaspor. Han spillede bl.a. Europa League-kampe, vandt den tyrkiske pokaltitel samt den tyrkiske Super Cup-finale med klubben.
Cádiz
Efter fire år i Tyrkiet skiftede Jønsson i august 2020 til den spanske klub Cádiz CF, der netop var rykket op i La Liga.[8][9]
AEK
Da hans kontrakt udløb i Cádiz, skiftede han til græske AEK Athen i sommeren 2022.[10]
Landshold
Jønsson har spillet på U-landsholdene gennem årene, hvor et par skader dog har holdt ham ude i nogle perioder. Det er blevet til 38 kampe på de forskellige årgange, heraf 18 på Danmark U/21 og deltagelse i slutrunden ved EM i 2015, hvor han spillede tre kampe.
I efteråret 2020 blev Jønsson udtaget til A-landsholdstruppen,[11], og han fik debut 11. november i venskabskampen mod Sverige, hvor han spillede hele kampen og i øvrigt blev kåret som man of the match.[12]