Böðvarsson startede sin karriere i hjemlandet, men rejste i 2013 til Norge, hvor han skrev kontrakt med Viking Stavanger.[1] Her spillede han de følgende tre sæsoner 81 Tippeliga-kampe, inden han skiftede til FC Kaiserslautern i Tyskland.
Opholdet i Kaiserslautern blev kun kortvarigt for Böðvarsson, der efter kun et halvt år i klubben blev solgt til Wolverhampton Wanderers i England.[2] Her spillede han et enkelt år, før han i sommeren 2017 blev solgt til ligarivalerne Reading.[3]
Landshold
Böðvarsson har (pr. maj 2018) spillet 36 kampe og scoret to mål for Islands landshold. Han debuterede for holdet 14. november 2012 i en venskabskamp mod Andorra.[4] Han var en del af den islandske trup, der nåede kvartfinalen ved EM 2016 i Frankrig, og blev også udtaget til VM 2018 i Rusland.
