Efter at have spillet i hjemlandet som ungdomsspiller, startede Bjarnason sin seniorkarriere i Norge hos Viking Stavanger.[1] Her spillede han de følgende seks sæsoner, og nåede mere end 100 Tippeliga-kampe.[2]
I sommeren 2015 skiftede han til det schweiziske mesterhold FC Basel.[4] Han debuterede for holdet 25. juli samme år i en ligakamp mod Grasshoppers. I sin første sæson i klubben var han med til at vinde det schweiziske mesterskab.
Han vendte tilbage til Italien i januar 2020, da han skiftede til Brescia.[3]
Adana Demirspor
Bjarnason skiftede til Adana Demirspor i august 2021.[3]
Landshold
Ungdomslandhold
Bjarnason har repræsenteret Island på flere ungdomsniveauer.[6]
Seniorlandshold
Bjarnson debuterede for seniorlandsholdet den 29. maj 2010, i en venskabskamp mod Andorra.[7]
Han blev udtaget til den islandske trup til EM 2016 i Frankrig[6], og skrev historie ved at score det første islandske slutrunde-mål nogensinde, da han den 14. juni udlignede til 1-1 i holdets åbningskamp mod de senere europamestre fra Portugal. To år senere var han også en del af holdet til VM 2018 i Rusland.[6]
Bjarnason spillede den 14. november 2021 sin landskamp nummer 105, og blev dermed spilleren med flest landskampe for Island nogensinde.[8]
