Cyfwng

Mewn mathemateg, mae cyfwng (real) yn set o rifau real sy'n gorwedd rhwng dau rif yn y set, ac sydd hefyd wedi'i gynnwys yn y set. Er enghraifft, mae'r set o bob rhif x sy'n bodloni 0 ≤ x ≤ 1 yn gyfwng sy'n cynnwys 0 a 1, yn ogystal â'r holl rifau rhyngddynt. Enghreifftiau eraill o gyfyngau yw'r set o bob rhif real ${\displaystyle \mathbb {R} }$, sef y set o'r holl rifau real negyddol, a'r set wag.

Mae cyfyngau real yn holl bwysig o fewn 'damcaniaeth integriadau' (theory of integration), oherwydd y rhain yw'r setiau lleiaf y gellir diffinio eu "maint", eu "mesuriadau" a'u "hyd" yn hawdd. Gellir, wedyn, ymestyn y cysyniad o 'fesur' i fannau mwy cymhleth gan arwain i fesuriadau Borel a hyd yn oed i fesuriadau Lebesgue.

Maent hefyd yn bwysig, yn wir yn gwbwl ganolog i'r 'cyfwng rhifyddol' (interval arithmetic) sef techneg rhifiadol o gyfrifiannu fformiwlâu mympwyol hyd yn oed pan yn delio gydag ansicrwydd, brasamcanion a thalgrynnu.

Cânt eu diffinio mewn set trefnus o gyfanrifau a rhifau cymarebol.

• cyfwng agored - nid yw cyfwng agored yn cynnwys ei ddiweddbwynt, ac fe'i dynodir gyda chromfachau

e.e. mae (0,1) yn golygu mwy na 0 a llai nag 1.^[1]

• cyfwng caeedig - mae cyfwng caeedig yn cynnwys ei holl bwyntiau terfyn (dechreubwynt a diweddbwynt), ac fe'i dynodir gyda cromfachau sgwâr

e.e. mae [0,1] yn golygu mwy na, neu'n hafal i 0 ac yn llai na, neu'n hafal i 1.

• cyfwng hanner-agored - mae'n cynnwys dim ond un o'i bwyntiau terfyn, ac fe'i dynodir trwy gymysgu'r dynodiadau uchod (agored a chaeedig).

e.e. mae (0,1] yn golygu mwy na 0, ac yn llai nag 1 (neu'n hafal i) 1, tra mae [0,1] yn golygu mwy na, neu'n hafal i 0 ac yn llai nag 1.

• cyfwng dirywiedig - set o un rhif real. Weithiau, ychwaanegir y set wag at y set hwn. Os nad yw'r cyfwng real yn wag neu'n ddirywiedig, yna dywedir ei fod yn 'briodol' (proper) ac mae ganddo nifer anfeidraidd o elfennau.

Disgrifir y dynodiadau hyn o fewn y Safon rhynwladol ISO 31-11:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\color {RedOrange}(}a,b{\color {RedOrange})}={\mathopen {\color {RedOrange}]}}a,b{\mathclose {\color {RedOrange}[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {RedOrange}<}x{\color {RedOrange}<}b\},\\{}{\color {OliveGreen}[}a,b{\color {RedOrange})}={\mathopen {\color {OliveGreen}[}}a,b{\mathclose {\color {RedOrange}[}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {OliveGreen}\leq }x{\color {RedOrange}<}b\},\\{}{\color {RedOrange}(}a,b{\color {OliveGreen}]}={\mathopen {\color {RedOrange}]}}a,b{\mathclose {\color {OliveGreen}]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {RedOrange}<}x{\color {OliveGreen}\leq }b\},\\{}{\color {OliveGreen}[}a,b{\color {OliveGreen}]}={\mathopen {\color {OliveGreen}[}}a,b{\mathclose {\color {OliveGreen}]}}&=\{x\in \mathbb {R} \mid a{\color {OliveGreen}\leq }x{\color {OliveGreen}\leq }b\}.\end{aligned}}}$

Sylwer fod (a, a), [a, a), a (a, a] yn cynrychioli'r set wag, ond mae [a, a] yn dynodi set {a}.

Pan fo a > b, yna, fel arfer, mae'r pedwar nodiant yn cynrychioli set wag.

Sylwer

anffurfiad - deformation

dirywiedig - degenerate^[2]

nid bathiad mo'r gair 'cyfwng'. Fe'i ceir mewn cofnod o'r 12g. Yn ôl Geiriadur Prifysgol Cymru, caiff ei ddiffinio fel: Pellter (mewn lle neu amser) rhwng y naill beth a’r llall, adwy, bwlch (mewn lle neu amser), agendor, gwagle; ennyd, ysbaid, ystod; gwahaniad; man lle y cyferfydd dau neu ragor o bethau. Fe'i ceir yn y gair 'argyfwng'.