Vnější součin[1] je v matematice (n-1)-ární operace násobení vektorů v n-rozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem. Výsledkem této operace je vektor kolmý ke všem násobeným vektorům a jeho velikost je rovna objemu (n-1) rozměrného rovnoběžnostěnu násobenými vektory sevřeného.
Mějme aritmetický vektorový prostor R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} s ortonormální bází nad číselným tělesem R {\displaystyle \mathbb {R} } , pak pro vektory v 1 , … , v n ∈ R n {\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}\in \mathbb {R} ^{n}} platí, že vektor v 1 {\displaystyle \mathbf {v} _{1}} je vnějším součinem vektorů v 2 , … , v n {\displaystyle \mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}} vzhledem k uvedené bázi, právě když:
symbolem ⋀ {\displaystyle \bigwedge } značíme vnější součin a matice A i {\displaystyle A_{i}} pro i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}} vznikly vynecháním i-tého sloupce matice:
kde dolní index označuje index vektoru a horní index označuje index jeho souřadnice vzhledem k dané bázi.
Mějme aritmetický vektorový prostor R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} s kanonickou bází nad číselným tělesem R {\displaystyle \mathbb {R} } , pak pro vektory z , x , y ∈ R 3 {\displaystyle \mathbf {z} ,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}} platí, že vektor z {\displaystyle \mathbf {z} } je vnějším součinem vektorů x , y {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} } vzhledem k uvedené bázi, právě když:
přičemž smíšený součin x ⋅ ( x × y ) = 0 {\displaystyle \mathbf {x} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=0} a y ⋅ ( x × y ) = 0 {\displaystyle \mathbf {y} \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {y} )=0} , tj. vektor z {\displaystyle \mathbf {z} } je kolmý na vektory x {\displaystyle \mathbf {x} } a y {\displaystyle \mathbf {y} } a jeho velikost je rovna obsahu rovnoběžníku sevřeného násobenými vektory, tj. vektor z {\displaystyle \mathbf {z} } je vektorovým součinem vektorů x {\displaystyle \mathbf {x} } a y {\displaystyle \mathbf {y} } .
{{Citation}}