Sférická soustava souřadnic (kulová soustava souřadnic ) je soustava křivočarých souřadnic v prostoru, v níž jedna souřadnice (označovaná
r
{\displaystyle r}
vzdálenost bodu od počátku souřadnic , druhá souřadnice (označovaná
φ φ -->
{\displaystyle \varphi }
úhel odklonu průvodiče bodu od osy
x
{\displaystyle x}
θ θ -->
{\displaystyle \theta }
průvodičem a osou
z
{\displaystyle z}
Sférické souřadnice se s mírnou obměnou užívají např. v zeměpisu jako zeměpisné souřadnice .
Sférická soustava souřadnic je obecně vhodná v problémech, které mají sférickou symetrii . Tyto mají zpravidla ve sférických souřadnicích podstatně jednodušší tvar.
Bod ve sférické soustavě souřadnic. Transformace sférických souřadnic na kartézské:
x
=
r
sin
-->
θ θ -->
cos
-->
φ φ -->
{\displaystyle x=r\sin {\theta }\cos {\varphi }}
y
=
r
sin
-->
θ θ -->
sin
-->
φ φ -->
{\displaystyle y=r\sin {\theta }\sin {\varphi }}
z
=
r
cos
-->
θ θ -->
{\displaystyle z=r\cos {\theta }\,}
Převod kartézských souřadnic na sférické :
r
=
x
2
+
y
2
+
z
2
,
{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},}
φ φ -->
=
arctg2
-->
(
y
,
x
)
,
{\displaystyle \varphi =\operatorname {arctg2} (y,x),}
θ θ -->
=
arccos
-->
(
z
r
)
,
{\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {z}{r}}\right),}
kde arctg2(x ,y ) je zobecnění funkce arkus tangens . Úhly volíme v rozsahu
0
≤ ≤ -->
θ θ -->
≤ ≤ -->
π π -->
{\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }
0
≤ ≤ -->
φ φ -->
<
2
π π -->
{\displaystyle 0\leq \varphi <2\pi }
Jakobián transformace z kartézské do sférické soustavy souřadnic :
J
=
r
2
sin
-->
θ θ -->
{\displaystyle J=r^{2}\sin \theta }
infinitesimální úsečky se spočte jako
d
s
2
=
d
r
2
+
r
2
d
θ θ -->
2
+
r
2
sin
2
-->
θ θ -->
d
φ φ -->
2
.
{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \varphi ^{2}.}
Objem infinitesimálního elementu prostoru spočteme jako
d
V
=
r
2
sin
-->
θ θ -->
d
r
d
φ φ -->
d
θ θ -->
,
{\displaystyle \mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta ,}
takže celkový objem spočteme integrací tohoto výrazu přes dané těleso vyjádřené ve sférických souřadnicích.
