Grafy hustot gama rozdělení s různými charakteristikami. Grafy distribučních funkcí rozdělení gama s různými charakteristikami. Rozdělení gama je v teorii pravděpodobnosti a statistiky dvouparametrická rodina spojitých rozdělení pravděpodobnosti . Speciálními případy distribuce gama jsou exponenciální rozdělení , Erlangovo rozdělení a rozdělení chí-kvadrát . Běžně se používají tři různé parametrizace distribuce gama:
S parametrem tvaru k a parametrem měřítka θ .
S parametrem tvaru α = k β = 1/θ
S tvarovým parametrem k a střední hodnotou μ = kθ = α /β V každé z těchto tří forem jsou oba parametry kladná reálná čísla.
Distribuci gama lze parametrizovat například pomocí tvarového parametru α = k a inverzního parametru škály β = 1 / θ . Mějme náhodnou proměnnou X, která má rozdělení gama s parametry α a β:
X
∼ ∼ -->
Γ Γ -->
(
α α -->
,
β β -->
)
≡ ≡ -->
Gama
-->
(
α α -->
,
β β -->
)
{\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )\equiv \operatorname {Gama} (\alpha ,\beta )}
Odpovídající funkce hustoty pravděpodobnosti v této parametrizaci je
f
(
x
;
α α -->
,
β β -->
)
=
β β -->
α α -->
x
α α -->
− − -->
1
e
− − -->
β β -->
x
Γ Γ -->
(
α α -->
)
pro
x
>
0
α α -->
,
β β -->
>
0
,
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {\beta ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ pro }}x>0\quad \alpha ,\beta >0,\\[6pt]\end{aligned}}}
kde
Γ Γ -->
(
α α -->
)
{\displaystyle \Gamma (\alpha )}
gama . Pro všechna kladná celá čísla
Γ Γ -->
(
α α -->
)
=
(
α α -->
− − -->
1
)
!
{\displaystyle \Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!}
Kumulativní distribuční funkce je regularizovaná funkce gama:
F
(
x
;
α α -->
,
β β -->
)
=
∫ ∫ -->
0
x
f
(
u
;
α α -->
,
β β -->
)
d
u
=
γ γ -->
(
α α -->
,
β β -->
x
)
Γ Γ -->
(
α α -->
)
,
{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=\int _{0}^{x}f(u;\alpha ,\beta )\,du={\frac {\gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}},}
kde
γ γ -->
(
α α -->
,
β β -->
x
)
{\displaystyle \gamma (\alpha ,\beta x)}
neúplná funkce gama .
Pokud α je kladné celé číslo (tj. distribuce je Erlangovo rozdělení), má tato distribuční funkce následující rozvoj do řady:[ 1]
F
(
x
;
α α -->
,
β β -->
)
=
1
− − -->
∑ ∑ -->
i
=
0
α α -->
− − -->
1
(
β β -->
x
)
i
i
!
e
− − -->
β β -->
x
=
e
− − -->
β β -->
x
∑ ∑ -->
i
=
α α -->
∞ ∞ -->
(
β β -->
x
)
i
i
!
.
{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )=1-\sum _{i=0}^{\alpha -1}{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}e^{-\beta x}=e^{-\beta x}\sum _{i=\alpha }^{\infty }{\frac {(\beta x)^{i}}{i!}}.}
f
(
x
;
k
,
θ θ -->
)
=
x
k
− − -->
1
e
− − -->
x
θ θ -->
θ θ -->
k
Γ Γ -->
(
k
)
pro
x
>
0
a
k
,
θ θ -->
>
0.
{\displaystyle f(x;k,\theta )={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\quad {\text{ pro }}x>0{\text{ a }}k,\theta >0.}
Reference
V tomto článku byl použit překlad textu z článku Gamma distribution
↑ Papoulis, Pillai, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes , Fourth Edition
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {\beta ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )}}\quad {\text{ pro }}x>0\quad \alpha ,\beta >0,\\[6pt]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bce67718c6ff6e45051f52301995304ab7d2cba)
