Prázdná množina

Jedna z variant zápisu prázdné množiny

Prázdná množina je v matematice množina, která neobsahuje žádné prvky. Značí se obvykle symbolem přeškrtnuté nuly ${\displaystyle \emptyset }$, někdy psané též jako ${\displaystyle \varnothing }$, popř. ∅, anebo symbolem prázdných množinových (složených) závorek {}.

Množina, která není prázdná, tzn. množina obsahující nějaké prvky, bývá označována jako neprázdná množina.

Formální zavedení v teorii množin

V dnes nejčastěji používaném axiomatickém systému Zermelově-Fraenkelově teorii množin se existence prázdné množiny dokazuje ze schématu axiomů vydělení a axiomu existence (existuje alespoň jedna množina) formulí

pro množinu ${\displaystyle x}$ definujme ${\displaystyle \emptyset :=\{y\in x;\,y\neq y\}}$.

Z axiomu extenzionality pak plyne, že prázdná množina je jediná, tj. libovolné dvě prázdné množiny jsou si rovny.

Vlastnosti

• Prázdná množina je podmnožinou libovolné množiny:

  ∀ A: ∅ ⊆ A

• Libovolná množina se sjednocením s prázdnou množinou nemění:

  ∀ A: ∅ ∪ A = A

• Průnik libovolné množiny s prázdnou množinou je prázdná množina:

  ∀ A: ∅ ∩ A = ∅

• Kartézský součin libovolné množiny s prázdnou množinou je prázdná množina:

  ∀ A: ∅ × A = A × ∅ = ∅

• Jedinou (a to nevlastní) podmnožinou prázdné množiny je právě prázdná množina; žádné vlastní podmnožiny prázdná množina nemá:

  ∀ A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅

• Mohutnost prázdné množiny je nula, prázdná množina je tedy konečná:

  |∅| = 0

Prázdná množina jako topologický prostor je zároveň otevřená, uzavřená a kompaktní.

Součet prvků prázdné množiny se obvykle definuje jako 0, součin prvků prázdné množiny jako 1, supremum prázdné množiny reálných čísel jako ${\displaystyle -\infty }$ a infimum jako ${\displaystyle +\infty }$.

Vysvětlení některých vlastností

Definice podmnožiny říká, že každý prvek podmnožiny musí být prvkem druhé množiny. Obecný kvantifikátor pro každý prvek platí je u prázdné množiny vždy splněn, jak plyne z elementárních pravidel logiky.

Také je třeba si uvědomit, že např. A = {∅} není prázdná množina. Je to množina o jednom prvku, kterým je prázdná množina (tzn. jeden prvek množiny A je prázdnou množinou).

Aplikací tohoto faktu je množinové zavedení přirozených čísel (0 je reprezentována ∅, 1 jako {∅} a n jako množina ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}$).

Literatura

• ŠTĚPÁNEK, Petr; BALCAR, Bohuslav. Teorie množin. Praha: Academia, 2005. ISBN 80-200-0470-X. 

Související články

• Univerzální množina

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu prázdná množina na Wikimedia Commons