Kruh

Kruh

Kruh je rovinný geometrický útvar, omezený kružnicí. Kruh je určen svým středem S a poloměrem r: Je to množina všech bodů roviny, které mají od středu vzdálenost menší nebo rovnou poloměru.

Základní vzorce

Pro poloměr

Obvod o kruhu je určen vzorcem:

${\displaystyle o=2\pi r\,,}$

kde π označuje číslo pí, a jeho plocha S vzorcem:

${\displaystyle S=\pi r^{2}\,.}$

Pro průměr

Pokud bychom uvažovali poloměr (rádius) r jako polovinu průměru d, tedy dosadili: ${\displaystyle r={\frac {d}{2}}}$, tak by vzorce vypadaly následovně:

pro obvod o:

${\displaystyle o=2{\frac {\pi d}{2}}=\pi d}$

a takto pro plochu S:

${\displaystyle S=\pi \left({\frac {d}{2}}\right)^{2}=\pi {\frac {d^{2}}{2^{2}}}=\pi {\frac {d^{2}}{4}}}$

Odvození vzorce pro plochu pomocí integrace

Obecný středový tvar rovnice kružnice se středem v počátku soustavy souřadné:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

Rovnice části kružnice v I. kvadrantu:

${\displaystyle y=+{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

Plocha kruhu se nyní rovná čtyřnásobku plochy vymezené osami ${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ a částí kružnice v I. kvadrantu, pomocí integrálního počtu tedy:

${\displaystyle S=4\int _{0}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\mathrm {d} x}$

Použijeme substituci, kde ${\displaystyle x}$ substituujeme za ${\displaystyle r\sin(t)}$:

${\displaystyle S=4\int _{0}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-r^{2}\sin ^{2}(t)}}r\cos(t)\mathrm {d} t}$

Upravíme:

${\displaystyle S=4\int _{0}^{r}\,r^{2}\cos ^{2}(t)\mathrm {d} t=4r^{2}\int _{0}^{r}\,\cos ^{2}(t)\mathrm {d} t}$

Integrujeme:

${\displaystyle S=4r^{2}[{\frac {t}{2}}+{\frac {\sin(2t)}{4}}]_{0}^{r}}$

Vypočítáme určitý integrál pro ${\displaystyle r={\frac {\pi }{2}}}$:

${\displaystyle S=4r^{2}({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\sin(\pi )}{4}})=\pi r^{2}}$

Další pojmy

Část kruhu vymezená dvěma průvodiči je kruhová výseč, část kruhu omezená sečnou je kruhová úseč. Plocha vymezená dvěma soustřednými kružnicemi o nestejném poloměru je mezikruží.

Kvadratura kruhu

Podrobnější informace naleznete v článku kvadratura kruhu.

Kvadratura kruhu je konstrukční úloha: sestrojit k danému kruhu čtverec o stejném obsahu pouze pomocí pravítka a kružítka. Tato úloha obecně nemá řešení, přibližná řešení byla ovšem známa už ve starověku.

Naproti tomu Tarského problém kvadratury kruhu je úloha rozdělit daný kruh na konečně mnoho kousků a složit z těchto kousků čtverec o stejném obsahu. S použitím axiomu výběru je tato úloha řešitelná, ovšem nikoliv prakticky. Kousky jsou neměřitelné množiny, které nelze realizovat hmotou složenou z částic. Navíc řešení, které nalezl Laczkovich, vyžaduje ${\displaystyle 10^{50}}$ kousků.^[1]

Třírozměrné tvary, jejichž průsečíky s některými rovinami dávají kruhy, jsou koule, sféroidy, válce a kužely.

Odkazy

Reference

1. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roč. 35, č. 6

Související články

• Kružnice
• Mezikruží
• Kvadratura kruhu
• Malfattiho kruhy

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kruh na Wikimedia Commons
• Téma Kruh ve Wikicitátech
• Slovníkové heslo kruh ve Wikislovníku
• (anglicky) Vzorce pro kruh a kružnici na Geometry Atlas.
• Interaktivní applety Java Vlastnosti a jednoduché konstrukce kruhu a kružnice.

Portály: Matematika